Esercizio parametrizzazione per arcolunghezza, mi sono bloccato

[gasatomosso]

Volevo chiedere un aiuto ancora su questi concetti di parametrizzazione per arco lunghezza:

Mi si chiede:

Data una curva $α(t), t ∈ (a, b)$, la curva $˜α(r) := α(−r), r ∈ (−b, −a)$ ha
orientazione opposta. Per definizione, i punti $α(t)$ e $˜α(−t)$ coincidono.
Scelto un tal punto, paragonare i riferimenti di Frenet, la curvatura e la
torsione delle due curve $α, ˜α$.

Si lavori per arco lunghezza

ho pensato di farmi una idea della parametrizzazione per arco-lunghezza:

1) $s(r)=int_a^r||dota(r)||dr$ questa è s(r) la sua inversa è r(s) ed è il cambio variabili per avere $alpha(r(s))$ curva per lunghezza d'arco

2) per ˜α ho: $s_2(r)=int_(-b)^(-r)||dota(-r)||dr$ e fin qua nessun problema perché ho $-int_(r)^(b)||dota(rho)||drho$ e la $ ˜alpha(rho(s))$

però poi sono bloccato, non capisco come ricavare le richieste di torsione ecc, e confrontarle nei due casi di ˜α e α.

Penso di dover trovare un punto di "unione dei due concetti" che sono simmetrici, qundi pensavo di riuscire a mostrare che i due integrali fossero in qualche modo simmetrici con qualche cambio, ma non ci riesco.

ho fatto di tutto ma mi sono proprio impallato

[Quinzio]

Non so se mi sfugge qualcosa, ma non e' sufficiente invertire le direzione dei vari vettori, se opportuno ?
Ad esempio la velocita', la derivata prima della curva, avra' verso opposto e stesso modulo, la curvatura (uno scalare) sara' la stessa, ecc....
Forse mi sfugge qualcosa ?

[gasatomosso]

Sì, intuitivamente è quello che intendevo con "c'è una simmetria", ma il mio volere era cercare d renderlo evidente in modo formale. Quindi far uscire i segni (e renderli evidenti) dalle formule di parametrizzazione ecc.
Ma come? Non mi viene Hai qualche idea? (O avete?)