Domanda su esistenza unicità eq. differenziale

[kaiz]

Volevo chiedere una cosa che non so come dimosrare per quanto ci stia ragionando da un po'

Il professore ha detto che per le EDO (in particolare si trattavano quellea variabili separabili) valendo esistenza e unicità locale allora una data soluzione massimale non interseca la soluzione costante.

Indico con $y(x)$ la soluzione

Io mi figuro nella mia idea qualcosa del genere: se una soluzione non costante intersecasse quella costante in un certo punto x' succederebbe che per il teorema suddetto si avrebbe che in un intorno del punto di intersezione (data la località) ci sarà per forza una sovrapposizione tra la soluzione costante e non costante.

Mettiamo che la soluzione costante e quella non costante codividano un certo intervallo di definizione $[m,n]$, allora immagino che in quell'intervallo devono sovrapporsi ovunque. Vorrei dimostrarmelo.

Allora la mia idea era mostrare che come detto sopra se ho intersezione in un punto $x'$ allora avrò un intorno di $x'$ chiamiamolo $[a,b]$ per cui la soluzione costante coincide con quella non costante.
A quest punto dato il punto $a$ avrò un intorno si esso chiamiamolo $[c,d]$ in cui le due soluzioni si sovrappongono.

L'idea è continuare così fino a raggiungere m.

Problema: io potrei continuare così all'infinito perché trovero poi un $[c',d']$ e un $[c'',d'']$ ecc ecc ma non avrò mai la certezza che $[c^(n),d^(n)]$ abbia $c^(n)$ che coincide con $m$

Identicamente posso coprire con questi "prolungamenti" la parte simmetrica fino a n. Non ripeto il discorso

Mi scontro quindi con questa infinità che non so come gestire nella dim. Qualche aiuto?