Cambio estremi integrazione
Non credo di aver capito una cosa riguardo questo concetto:
$int_a^bf(x)dx$
prendo la funzione $g:(b,a)->(a,b), t->a+b-t$
ne consegue: $g'=-1$
quindi: $-1*int_(g^-1(a)=b)^(g^-1(b)=a)f(g(t))dt$
mi aspetterei $-int_b^af(x)dx$ per coerenza
tuttavia:
$int_(g^-1(a)=b)^(g^-1(b)=a)f(a+b-t)dt$
Ho quindi una $f(a+b-t)$, mentre io vorrei una $f(t)$ cosicché: a meno di variabile muta $-int_b^af(x)dx=-int_b^af(t)dt$ e sarei a cavallo... ma io ho $f(a+b-t)$ a rompermi le scatole.
Que sbaglio?
non lo capisco.
$int_a^bf(x)dx$
prendo la funzione $g:(b,a)->(a,b), t->a+b-t$
ne consegue: $g'=-1$
quindi: $-1*int_(g^-1(a)=b)^(g^-1(b)=a)f(g(t))dt$
mi aspetterei $-int_b^af(x)dx$ per coerenza
tuttavia:
$int_(g^-1(a)=b)^(g^-1(b)=a)f(a+b-t)dt$
Ho quindi una $f(a+b-t)$, mentre io vorrei una $f(t)$ cosicché: a meno di variabile muta $-int_b^af(x)dx=-int_b^af(t)dt$ e sarei a cavallo... ma io ho $f(a+b-t)$ a rompermi le scatole.
Que sbaglio?
non lo capisco.
Risposte
Ciao gassattiello,
Se non ho capito male, hai l'integrale $\int_a^b f(x) \text{d}x $ e vuoi risolverlo per sostituzione ponendo $x = g(t) = a + b - t $
Ovviamente per $x = a \implies t = b $, per $x = b \implies t = a $ e $\text{d}x = g'(t) \text{d}t $, quindi si ha:
$\int_a^b f(x) \text{d}x = \int_b^a f(g(t))g'(t) \text{d}t = \int_b^a f(g(t))(- 1) \text{d}t = - \int_b^a f(g(t))\text{d}t = \int_a^b f(g(t))\text{d}t $
Se non ho capito male, hai l'integrale $\int_a^b f(x) \text{d}x $ e vuoi risolverlo per sostituzione ponendo $x = g(t) = a + b - t $
Ovviamente per $x = a \implies t = b $, per $x = b \implies t = a $ e $\text{d}x = g'(t) \text{d}t $, quindi si ha:
$\int_a^b f(x) \text{d}x = \int_b^a f(g(t))g'(t) \text{d}t = \int_b^a f(g(t))(- 1) \text{d}t = - \int_b^a f(g(t))\text{d}t = \int_a^b f(g(t))\text{d}t $
Sì però non risolve il probema dove mi sono incartato, vediamo...
Il dubbio mi sorge perché il prof ha detto quando definiamo $int_a^bf(x)dx$ abbiamo $-int_b^af(x)dx$.
E ha detto, si definisce così il cambio estremi perché il meno ha a che fare con il cambio variabile, pensateci...
E io quindi ci ho pensato, ma non comprendo la mia idea era apportare il cambio variabili che ho scritto e speravo di ottenere proprio $-int_b^af(t)dt$, ma come dici tu io mi ritrovo ad avere $-int_b^af(g(t))dt$ e come vedi ho una composizione con g di troppo. Come si risolve sta cosa?
Il dubbio mi sorge perché il prof ha detto quando definiamo $int_a^bf(x)dx$ abbiamo $-int_b^af(x)dx$.
E ha detto, si definisce così il cambio estremi perché il meno ha a che fare con il cambio variabile, pensateci...
E io quindi ci ho pensato, ma non comprendo la mia idea era apportare il cambio variabili che ho scritto e speravo di ottenere proprio $-int_b^af(t)dt$, ma come dici tu io mi ritrovo ad avere $-int_b^af(g(t))dt$ e come vedi ho una composizione con g di troppo. Come si risolve sta cosa?
scusate ma no mi è stato più rivolto alcun auto. Eppure era piuttosto semplice.
Proprio nessuno che abbia voglia di cimentarsici? Vorrei tanto capire
Proprio nessuno che abbia voglia di cimentarsici? Vorrei tanto capire
Anzitutto, ma sei proprio sicuro che $g: (b, a) -> (a,b)$?
Perché così "a naso" almeno uno dei due intervalli non esiste.
Il punto è che $g(t) = a+b - t$ va da $(a,b)$ in sé.
L'unica cosa che fa $g$ è "invertire" il verso di percorrenza dell'intervallo nel senso che, mentre la variabile indipendente $t$ descrive $(a,b)$ dall'estremo inferiore $a$ a quello superiore $b$, la variabile dipendente $s=g(t)$ descrive lo stesso intervallo $(a,b)$ dall'estremo superiore $b$ a quello inferiore $a$ (vedi grafico sotto).
[asvg]axes();
stroke="gray"; path([[-3,0],[-3,4],[0,4]]); path([[4,0],[4,-3],[0,-3]]);
stroke="red"; strokewidth=2; line([-3,4],[4,-3]);
text([-3,0], "a", belowright); text([0,-3], "a", left); text([4,0], "b", belowright); text([0,4], "b", left);[/asvg]
Per quanto riguarda l'integrale, il punto è che il simbolo \(\int_a^b \cdots \text{d} t\) è "direzionale", nel senso che è definito solo se $a <= b$; quindi il simbolo \(\int_b^a \cdots \text{d} t\) non ha un significato "naturale" se $a < b$ e glielo si deve attribuire in qualche modo.
Uno dei modi per farlo è "far tornare i conti" con la proprietà additiva in ogni caso. Tanto per capirci, presa una $f$ continua e positiva in $[a,b]$ e tre punti $alpha, beta, gamma \in [a,b]$, si sa che:
\[
\tag{I}
\int_\alpha^\gamma f(t)\ \text{d} t + \int_\gamma^\beta f(t)\ \text{d} t = \int_\alpha^\beta f(t)\ \text{d} t
\]
se $alpha <= gamma <= beta$ mentre, ad esempio, è:
\[
\int_\alpha^\beta f(t)\ \text{d} t + \int_\beta^\gamma f(t)\ \text{d} t = \int_\alpha^\gamma f(t)\ \text{d} t
\]
e perciò:
\[
\tag{II}
\int_\alpha^\beta f(t)\ \text{d} t = \int_\alpha^\gamma f(t)\ \text{d} t - \int_\beta^\gamma f(t)\ \text{d} t
\]
quando $alpha <= beta <= gamma$; formalmente (cioè fregandocene per un momento di sapere in anticipo se $gamma <= beta$ o viceversa, e manipolando solo i simboli alla "solita" maniera), confrontando (I) e (II) troveremmo:
\[
\tag{*}
\int_\beta^\gamma f(t)\ \text{d} t = - \int_\gamma^\beta f(t)\ \text{d} t
\]
e si vede distinguendo un po' di casi che con la convenzione (*) è sempre vero (i.e., con i punti $alpha$, $gamma$ e $beta$ messi in qualsiasi ordine in $[a,b]$) che:
\[
\int_\alpha^\gamma f(t)\ \text{d} t + \int_\gamma^\beta f(t)\ \text{d} t = \int_\alpha^\beta f(t)\ \text{d} t\; .
\]
Se uno vuole fare un discorso circa l'orientamento, questo non è molto chiaro coi soli strumenti a disposizione in Analisi I; ma appena in Analisi II vengono introdotti gli integrali curvilinei ci si può rendere facilmente conto del fatto che il $-$ dipende dal verso di percorrenza invertito dal cambiamento di variabile $s=g(t)$.
Perché così "a naso" almeno uno dei due intervalli non esiste.
Il punto è che $g(t) = a+b - t$ va da $(a,b)$ in sé.
L'unica cosa che fa $g$ è "invertire" il verso di percorrenza dell'intervallo nel senso che, mentre la variabile indipendente $t$ descrive $(a,b)$ dall'estremo inferiore $a$ a quello superiore $b$, la variabile dipendente $s=g(t)$ descrive lo stesso intervallo $(a,b)$ dall'estremo superiore $b$ a quello inferiore $a$ (vedi grafico sotto).
[asvg]axes();
stroke="gray"; path([[-3,0],[-3,4],[0,4]]); path([[4,0],[4,-3],[0,-3]]);
stroke="red"; strokewidth=2; line([-3,4],[4,-3]);
text([-3,0], "a", belowright); text([0,-3], "a", left); text([4,0], "b", belowright); text([0,4], "b", left);[/asvg]
Per quanto riguarda l'integrale, il punto è che il simbolo \(\int_a^b \cdots \text{d} t\) è "direzionale", nel senso che è definito solo se $a <= b$; quindi il simbolo \(\int_b^a \cdots \text{d} t\) non ha un significato "naturale" se $a < b$ e glielo si deve attribuire in qualche modo.
Uno dei modi per farlo è "far tornare i conti" con la proprietà additiva in ogni caso. Tanto per capirci, presa una $f$ continua e positiva in $[a,b]$ e tre punti $alpha, beta, gamma \in [a,b]$, si sa che:
\[
\tag{I}
\int_\alpha^\gamma f(t)\ \text{d} t + \int_\gamma^\beta f(t)\ \text{d} t = \int_\alpha^\beta f(t)\ \text{d} t
\]
se $alpha <= gamma <= beta$ mentre, ad esempio, è:
\[
\int_\alpha^\beta f(t)\ \text{d} t + \int_\beta^\gamma f(t)\ \text{d} t = \int_\alpha^\gamma f(t)\ \text{d} t
\]
e perciò:
\[
\tag{II}
\int_\alpha^\beta f(t)\ \text{d} t = \int_\alpha^\gamma f(t)\ \text{d} t - \int_\beta^\gamma f(t)\ \text{d} t
\]
quando $alpha <= beta <= gamma$; formalmente (cioè fregandocene per un momento di sapere in anticipo se $gamma <= beta$ o viceversa, e manipolando solo i simboli alla "solita" maniera), confrontando (I) e (II) troveremmo:
\[
\tag{*}
\int_\beta^\gamma f(t)\ \text{d} t = - \int_\gamma^\beta f(t)\ \text{d} t
\]
e si vede distinguendo un po' di casi che con la convenzione (*) è sempre vero (i.e., con i punti $alpha$, $gamma$ e $beta$ messi in qualsiasi ordine in $[a,b]$) che:
\[
\int_\alpha^\gamma f(t)\ \text{d} t + \int_\gamma^\beta f(t)\ \text{d} t = \int_\alpha^\beta f(t)\ \text{d} t\; .
\]
Se uno vuole fare un discorso circa l'orientamento, questo non è molto chiaro coi soli strumenti a disposizione in Analisi I; ma appena in Analisi II vengono introdotti gli integrali curvilinei ci si può rendere facilmente conto del fatto che il $-$ dipende dal verso di percorrenza invertito dal cambiamento di variabile $s=g(t)$.
Grazie per la rispsota così chiara.
C'è solo una cosa che mi piacerebbe chiederti meglio, del discorso: ma se io appunto svolgessi il cambiamento s=g(t), avrei una inversione della percorrenza di (a,b) come giustamente mi hai corretto.
E perché questa inversione non riesce a farmi tornare il segno meno? io dico alla fine sostituendo ho che $s^-1$ mi manda a->b e b->a quindi mi inverte gli estremi di integrazione e quindi non dovrebbe tornarmi fuori quel meno formale che abbiam messo nella trattazione della somma che hia indicato?
Invece mi ritrovo quel pasticcio di $\int_a^b f(s) \text{d}s =-\int_b^a f(g(t))\text{d}t $ con g(t) in più.
qui mi confondo
C'è solo una cosa che mi piacerebbe chiederti meglio, del discorso: ma se io appunto svolgessi il cambiamento s=g(t), avrei una inversione della percorrenza di (a,b) come giustamente mi hai corretto.
E perché questa inversione non riesce a farmi tornare il segno meno? io dico alla fine sostituendo ho che $s^-1$ mi manda a->b e b->a quindi mi inverte gli estremi di integrazione e quindi non dovrebbe tornarmi fuori quel meno formale che abbiam messo nella trattazione della somma che hia indicato?
Invece mi ritrovo quel pasticcio di $\int_a^b f(s) \text{d}s =-\int_b^a f(g(t))\text{d}t $ con g(t) in più.
qui mi confondo
"gassattiello":
C'è solo una cosa che mi piacerebbe chiederti meglio, del discorso: ma se io appunto svolgessi il cambiamento s=g(t), avrei una inversione della percorrenza di (a,b) come giustamente mi hai corretto.
E perché questa inversione non riesce a farmi tornare il segno meno? io dico alla fine sostituendo ho che $s^-1$ mi manda a->b e b->a quindi mi inverte gli estremi di integrazione e quindi non dovrebbe tornarmi fuori quel meno formale che abbiam messo nella trattazione della somma che hia indicato?
Invece mi ritrovo quel pasticcio di $\int_a^b f(s) \text{d}s =-\int_b^a f(g(t))\text{d}t $ con g(t) in più.
qui mi confondo
Ti confondi perché, come detto, servono strumenti più raffinati per capire come vanno le cose.
No, beh, quello mi era chiaro.
quello che volevo dire era questo: $\int_a^b f(s) \text{d}s =-\int_b^a f(g(t))\text{d}t $ (A), però t è variabile "muta" quindi $\int_a^b f(s) \text{d}s =-\int_b^a f(g(s))\text{d}s $ (non facio danno a metterci s), qui mi dice che se inverto gli estremi allora devo metterci f(g(s)) nell'integrale.
Mentre dal discroso formale che mi hai fatto tu la regola dice $\int_a^b f(s) \text{d}s =-\int_b^a f(s)\text{d}s $ (B)
ma ora sorpresa: $-\int_b^a f(s)\text{d}s =-\int_b^a f(g(s))\text{d}s $ questo è vero se e solo se f(g(s))=f(s). Mi sarei aspettato quindi dalla (A) coerenza con (B) che mi hai spiegato tu.
non è incoerente?
quello che volevo dire era questo: $\int_a^b f(s) \text{d}s =-\int_b^a f(g(t))\text{d}t $ (A), però t è variabile "muta" quindi $\int_a^b f(s) \text{d}s =-\int_b^a f(g(s))\text{d}s $ (non facio danno a metterci s), qui mi dice che se inverto gli estremi allora devo metterci f(g(s)) nell'integrale.
Mentre dal discroso formale che mi hai fatto tu la regola dice $\int_a^b f(s) \text{d}s =-\int_b^a f(s)\text{d}s $ (B)
ma ora sorpresa: $-\int_b^a f(s)\text{d}s =-\int_b^a f(g(s))\text{d}s $ questo è vero se e solo se f(g(s))=f(s). Mi sarei aspettato quindi dalla (A) coerenza con (B) che mi hai spiegato tu.
non è incoerente?
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