Torre di automorfismi

[MichelaP2]

Buongiorno a tutti, sto studiando (dal libro "A course in the theory of groups" di Robinson) la dimostrazione di S. Thomas circa il fatto che la torre di automorfismi per un gruppo $G$ con centro banale termina in $(2^|G|)^+$ passi. La prima parte della dimostrazione recita così:



ma non riesco a capire come mai al termine di quella catena di disuguaglianze l'ordine del gruppo $G_1$ sia pari a 1. Qualcuno può aiutarmi? Grazie in anticipo a chiunque sappia aiutarmi.

[Studente Anonimo]

Ciao, non sta dicendo che $G_1$ ha ordine $1$ (che sarebbe falso), sta usando il fatto che il prodotto tra cardinalità infinite è uguale al massimo tra esse. Osserva che tutti i $G_i$ sono infiniti.

[MichelaP2]

Grazie mille, infatti non mi sembrava una cosa possibile che $G$ avesse ordine 1, ma non avevo pensato sul fatto che fosse un gruppo infinito. La dimostrazione in realtà poi procede, e anche qui ho qualche dubbio:



in particolare nella disuguaglianza alla terza riga. Credo che il problema sia più che altro di notazione, ma anche cercando una spiegazione nelle pagine precedenti non trovo molto chiara la questione.

[Studente Anonimo]

Come moderatore ti chiedo di scrivere esplicitamente le disuguaglianze su cui hai dubbi usando le formule (clic). Inoltre scrivi per bene tutte le ipotesi.

[MichelaP2]

Va bene, riprovo. Devo dimostrare che la torre di automorfismi di un certo gruppo G, con centro banale, termina in al più $(2^{|G|})^+$ passi. La torre che considero è $G=G_0 \unlhd G_1 \unlhd G_2 ... G_\alpha \unlhd G_{\alpha + 1} \unlhd ...$, dove $G_{\alpha + 1} = Aut(G_\alpha)$. Il mio è più un problema di notazione a questo punto: a un certo punto (precisamente nella seconda immagine allegata sopra, nella seconda riga) definisce $varphi \in G{\lambda +1} \smallsetminus G_\lambda$, che dunque sarà un automorfismo di $G_{\lambda +1}$. Tuttavia quando poi scrive il gruppo $G_{\alpha_1}^{<\varphi>}$ non capisco come sia definito questo gruppo (non conta molto per capire questo che cosa sia $\alpha_1$, semplicemente $G_{\alpha_1}$ è un sottogruppo che compare nella torre). In generale quel libro usa la seguente notazione: se $f:G \to H$ è un generico omomorfismo, per $S \leq G$ definisce $S^\alpha$ come l'immagine di $\alpha$ ristretta ad $S$. Ma qui? $G_{\alpha_1}^{<\varphi>}$ come è fatto? E' il gruppo generato dalle immagini di $G_{\alpha_1}$ per elementi di $<\varphi>$? Oppure, siccome $\varphi$ è a tutti gli effetti anche questo un elemento di un gruppo (gruppo degli automorfismi), è il gruppo generato dai coniugati di $G_{\alpha_1}$ per elementi di $>\varphi>$? Spero di essere stata più chiara questa volta. Più che altro senza aver ben chiaro questo non mi è chiaro il passaggio successivo: come arrivo a dire che $G_{\alpha_1}^{<\varphi>} \leq G_{\alpha_2}$? (So che non ho detto esplicitamente chi siano $\alpha_1$ e $\alpha_2$, ma vorrei risolvere un problema alla volta, nelle comunque immagini è tutto scritto). Grazie mille

[MichelaP2]

Anzi, avrei una domanda diversa prima: se $\varphi$ come definito nel precedente messaggio fosse un automorfismo, che signficato avrebbe $<\varphi>$? E' il sottogruppo generato da $\varphi$? Ma in che senso se $\varphi$ è un automorfismo? Non mi è molto chiaro questo

[Studente Anonimo]

$varphi$ è un elemento di un gruppo (il gruppo degli automorfismi) e quindi ha senso considerare $< varphi >$, il gruppo ciclico generato da $varphi$. Per quanto riguarda la notazione, di solito con $A^B$ in questo contesto si indica la $B$-chiusura normale di $A$, cioe' il gruppo generato dall'insieme ${a^b : a in A, b in B}$.