Notazione poco chiara, anelli quoziente e campi
Scusate ma il 'numeratore' di $A_{a}$ nell'immagine è l'insieme dei polinomi in $x$ a coefficienti nelle classi di equivalenza modulo $3$?
Cioè se $p(x) \in$ Z / 3Z[x] allora è un polinomio del tipo $p(x) = [a_{m}]x^{m} + [a_{m-1}] x^{m-1} + .... + [a_{0}]$ e $a_{i} \in \frac{Z}{3Z}$ ?
perché sennò non capisco ...
Cioè se $p(x) \in$ Z / 3Z[x] allora è un polinomio del tipo $p(x) = [a_{m}]x^{m} + [a_{m-1}] x^{m-1} + .... + [a_{0}]$ e $a_{i} \in \frac{Z}{3Z}$ ?
perché sennò non capisco ...
Risposte
Si, si è quello. In effetti non è scritta molto chiaramente.
"otta96":
Si, si è quello. In effetti non è scritta molto chiaramente.
Ok grazie...
Sempre per lo stesso esercizio mi chiede di trovare gli ideali massimali di $A_{7} = \frac{\frac{Z}{3Z[x]}}{(x^{3} - \bar{7}x - \bar{49})}$ e dire se esiste un omomorfismo da $A_{7}$ a $\frac{Z}{3Z}$.
Per gli ideali massimali osservo che gli ideali dell'anello quoziente $A_{7}$ sono del tipo $\frac{(g(x))}{(f_{7})}$ dove $g(x) \in \frac{Z}{3Z[x]}$ ed $(g(x))$ è un ideale di $\frac{Z}{3Z[x]}$ tale che $(f_{7}) \subseteq (g(x))$- perché $\frac{Z}{3Z[x]}$ è un PID e quindi gli ideali sono principali -.
- Con $f_{7}$ ho indicato il polinomio $x^{3} - \bar{7}x - \bar{49}$. -
Ma $f_{7}$ è irriducibile in $\frac{Z}{3Z}$.... Quindi l'unico ideale proprio di $A_{7}$ è quello nullo... che non è massimale..
Però non so se è giusto
Inoltre per quanto riguarda il dire se esiste un omomorfismo da $A_{7}$ in $\frac{Z}{3Z}$ non riesco a cavarci un ragno dal buco... Pensavo che dovrei dimostrare che $(f_{7})$ è ideale di qualche omomorfismo da $\frac{Z}{3Z[x]}$ a $\frac{Z}{3Z}$ .... Ma non riesco a trovare tale cosa...
Quindi come potrei procedere?
"Desirio":
Però non so se è giusto
Mi sembra giusto, sull'altra parte non viene in mente nemmeno a me
Occhio, hai scritto $-49$ ma in realtà è $+49$ e il polinomio $f_7$ risulta riducibile.
"Martino":
Occhio, hai scritto $-49$ ma in realtà è $+49$ e il polinomio $f_7$ risulta riducibile.
Buongiorno si hai ragione ho sbagliato a scrivere, il polinomio è quello che dici tu $f_{7} = x^{3} - \bar{7}x + \bar{49}$.. Tuttavia ho provato ma non sono riuscita a trovare nessuna radice (né dell'uno né dell'altro...) ... Ovvero le radici le ricerco in $\frac{Z}{3Z}$ e quindi se esiste una radice dovrebbe essere una delle classi di equivalenza in ${\bar{0}, \bar{1}, \bar{2}} = \frac{Z}{3Z}$... Ma nessuna di queste classi se le sostituisco in $f_{7}$ mi ritornano la classe dello zero in $\frac{Z}{3Z}$... Quindi desumo che non ho capito come trovare le radici in questo caso...
Nel senso che io considero il polinomio $f_{7} = x^{3} - \bar{7}x + \bar{49}$, visto che siamo in $\frac{Z}{3Z}$ andando a considerare la classe $\bar{7} = \bar{1}$, facendo quindi la riduzione modulo $3$.
Ma forse sbaglio ...
Sì hai ragione avevo letto male io. Il fatto che $f_7$ è irriducibile implica che $A_7$ è un campo. Quanto alla domanda sull'omomorfismo $A_7 to ZZ//3ZZ$, ti consiglio di usare il fatto che un omomorfismo tra due campi è necessariamente iniettivo.
"Martino":
Sì hai ragione avevo letto male io. Il fatto che $f_7$ è irriducibile implica che $A_7$ è un campo. Quanto alla domanda sull'omomorfismo $A_7 to ZZ//3ZZ$, ti consiglio di usare il fatto che un omomorfismo tra due campi è necessariamente iniettivo.
Bene quindi quello che dice è corretto? Cioè che $A_{7}$ essendo un campo non ha ideali massimali?
Oppure l'ideale nullo è massimale? Perché effettivamente l'ideale nullo non è contenuto in nessun altro ideale di $A_{7}$ che sia proprio.
Quindi forse l'unico ideale massimale è quello nullo?
Per quanto riguarda l'omomorfismo ci devo pensare un attimo
"Martino":
Sì hai ragione avevo letto male io. Il fatto che $f_7$ è irriducibile implica che $A_7$ è un campo. Quanto alla domanda sull'omomorfismo $A_7 to ZZ//3ZZ$, ti consiglio di usare il fatto che un omomorfismo tra due campi è necessariamente iniettivo.
I due campi hanno cardinalità diversa e quindi non può essere iniettivo..
"Martino":
Sì hai ragione avevo letto male io. Il fatto che $f_7$ è irriducibile implica che $A_7$ è un campo. Quanto alla domanda sull'omomorfismo $A_7 to ZZ//3ZZ$, ti consiglio di usare il fatto che un omomorfismo tra due campi è necessariamente iniettivo.
$A_{7}$ ha cardinalità maggiore di $\frac{Z}{3Z}$ e quindi non può essere iniettivo..
Sì è giusto ma va spiegato, quale sarebbe la cardinalità di $A_7$? (E perché?)
"Martino":
Sì è giusto ma va spiegato, quale sarebbe la cardinalità di $A_7$? (E perché?)
La cardinalità di $A_{7}$ è quella dell'insieme dei polinomi $P = { x^{2} + \bar{b} x + \bar{c} | \bar{b}, \bar{c} \in \frac{Z}{3Z} }$ - ogni elemento in $A_{7}$ appartiene alla sua classe di resto modulo $f_{7}$ e tutte le classi di resto modulo $f_{7}$ sono quelle rappresentate da un polinomio di secondo grado a coefficienti in $\frac{Z}{3Z}$ dove il coefficiente di $x^{2}$ l'ho preso uguale a $1$ perché se fosse diverso da $1$ potrei moltiplicarlo per il suo inverso che esiste sempre.)
La cardinalità di $A_{7}$ dovrebbe essere $9$.
Se esistesse un omomorfismo $\phi: A_{7} \rightarrow \frac{Z}{3Z}$ allora il nucleo $Ker(\phi)$, ideale di $A_{7}$ - che è un campo -, sarebbe o tutto $F$ o ${0_{A_{7}}}$. Essendo che entrambi i campi hanno l'unità deve essere $\phi(1_{A_{7}}) = \bar{1}$ quindi non possiamo prendere un omomorfismo nullo ... Allora necessariamente $Ker(\phi) = {0_{A_{7}}}$.
Più tardi finisco il ragionamento.. Intanto mi puoi dire se la cardinalità di $A_{7}$ è corretta?
La cardinalità di $A_7$ è $3^3=27$ perché devi prendere le classi di $ax^2+bx+c$.
"Martino":
La cardinalità di $A_7$ è $3^3=27$ perché devi prendere le classi di $ax^2+bx+c$.
Ok grazie...
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