Generatore di un campo di spezzamento finito
Sia $f=x^3+x^2+1inZZ_(/2)[X]$ e $\alpha$ una radice di $f$. Abbiamo che $K=ZZ_(/2)[\alpha]=\mathbb{F}_8$ (ovvero il campo con $8$ elementi). Sia $ginK[X]$ irriducibile di grado $4$ e sia $\beta$ una radice di $g$. Abbiamo che $L=K[\beta]=\mathbb{F}_(2^12)$ e l'unico campo intermedio $F$ fra $K$ e $L$ (ovvero tale che $KsubFsubL$) è $\mathbb{F}_(2^6)$. Trovare una base di $K$ su $ZZ_(/2)$ e stabilire se $\beta$ è un generatore del gruppo $L^(ast)$ (ovvero il gruppo $L$ senza lo $0$).
Per una base di $K$ avevo pensato a ${1,\alpha,\alpha^2}$ ma non sono sicuro che lo sia. Mentre per $\beta$ se fosse generatore di $L$ dovrebbe generare anche gli elementi di $\mathbb{F}_(2^6)$ (poichè i suoi elementi appartengono a $L$) ma quest'ultimo è campo di spezzamento di un polinomio irriducibile di grado $2$ su $K$ mentre $\beta$ è radice di un polinomio irriducibile di grado $4$ su $K$ per cui $\beta$ non può essere generatore. Neanche di questo sono sicuro che sia giusto quindi se potete aiutarmi, grazie.
Per una base di $K$ avevo pensato a ${1,\alpha,\alpha^2}$ ma non sono sicuro che lo sia. Mentre per $\beta$ se fosse generatore di $L$ dovrebbe generare anche gli elementi di $\mathbb{F}_(2^6)$ (poichè i suoi elementi appartengono a $L$) ma quest'ultimo è campo di spezzamento di un polinomio irriducibile di grado $2$ su $K$ mentre $\beta$ è radice di un polinomio irriducibile di grado $4$ su $K$ per cui $\beta$ non può essere generatore. Neanche di questo sono sicuro che sia giusto quindi se potete aiutarmi, grazie.
Risposte
Potrei capire male io, ma il problema mi sembra sottodeterminato. Qualsiasi generatore $beta$ del gruppo $L^(ast)$ ha polinomio minimo di grado $4$ su $K$ e quindi in ultima analisi direi che senza conoscere $g(X)$ non si può rispondere. Per esempio se $g(X)$ ha coefficienti in $\mathbb{F}_2={0,1}$ allora $\mathbb{F}_2(beta)$ ha grado $4$ su $\mathbb{F}_2$ e quindi $beta$ non può generare $L^(ast)$ (perché se $beta$ genera $L^(ast)$ allora ovviamente $\mathbb{F}_2(beta)=L$). Ma senza informazioni su $g$ non credo si possa rispondere.
"Martino":
Potrei capire male io, ma il problema mi sembra sottodeterminato.
Ma guarda il testo è questo:
non vorrei aver dedotto cose sbagliate per cui dai una controllata a quello che ho scritto.
La base è corretta. In generale, per estensioni algebriche, puoi dire che una base di $K(\alpha)$ è $\{1,\alpha,\alpha^2,\ldots,\alpha^{n-1}\}$ dove $n$ è il grado del polinomio minimo di $\alpha$ su $K$
"Cannelloni":
In generale, per estensioni algebriche, puoi dire che una base di $K(\alpha)$ è $\{1,\alpha,\alpha^2,\ldots,\alpha^{n-1}\}$ dove $n$ è il grado del polinomio minimo di $\alpha$ su $K$
Il fatto che $K(\alpha)$ abbia dimensione $n$ viene dalla definizione di estensione finita di campo quindi mi basterebbe mostrare che $\{1,\alpha,\alpha^2,\ldots,\alpha^{n-1}\}$ sono linearmente indipendenti ma se non lo fossero allora esisterebbero $a_(n-1),...,a_0inK$ non tutti nulli tale che $a_(n-1)\alpha^{n-1}+...+a_0=0$ e quindi il polinomio non nullo $a_(n-1)x^{n-1}+...+a_0=0$ si annulla in $\alpha$, ma questo polinomio ha grado $n-1$ mentre il polinomio minimo di $alpha$ ha grado $n$ e quindi sarebbe assurdo per cui ${1,\alpha,\alpha^2,\ldots,\alpha^{n-1}\}$ sono linearmente indipendenti e quindi sono una base. Ma allora ${1,beta,beta^2,beta^3}$ è una base di $L$, non si potrebbe lavorare con questo per mostrare che $beta$ non è un generatore di $L^(ast)$?
Segui il mio ragionamento.
Prendiamo un generatore $gamma$ del gruppo moltiplicativo $L^(ast)$.
Allora $L=K(gamma)=\mathbb{F}_2(gamma)$, penso che fin qui ci siamo.
Siccome $|L:K|=4$, il polinomio minimo di $gamma$ su $K$ ha grado $4$.
Bene, questo significa che non puoi sperare di mostrare che $beta$ non è un generatore di $L^(ast)$, perché ti ho appena dimostrato che ogni generatore $gamma$ di $L^(ast)$ soddisfa le stesse ipotesi imposte a $beta$ (essere radice di un polinomio irriducibile di $K[X]$ di grado $4$).
D'altra parte non ogni elemento di $L$ il cui polinomio minimo su $K$ ha grado $4$ è un generatore di $L^(ast)$, per esempio se prendiamo $delta in L-F$, allora ovviamente $L=K(delta)$ quindi il polinomio minimo di $delta$ su $K$ ha grado $4$, d'altra parte $L^(ast)$ ha $varphi(2^(12)-1)=1728$ generatori e $|L-F|=2^(12)-2^6=4032$, quindi esistono elementi di $L-F$ che non generano $L^(ast)$ (ma comunque hanno tutti polinomio minimo su $K$ di grado $4$, come ti ho mostrato sopra).
Quindi non puoi nemmeno sperare di mostrare che $beta$ genera $L^(ast)$, dipende dal polinomio $g(X)$.
Prendiamo un generatore $gamma$ del gruppo moltiplicativo $L^(ast)$.
Allora $L=K(gamma)=\mathbb{F}_2(gamma)$, penso che fin qui ci siamo.
Siccome $|L:K|=4$, il polinomio minimo di $gamma$ su $K$ ha grado $4$.
Bene, questo significa che non puoi sperare di mostrare che $beta$ non è un generatore di $L^(ast)$, perché ti ho appena dimostrato che ogni generatore $gamma$ di $L^(ast)$ soddisfa le stesse ipotesi imposte a $beta$ (essere radice di un polinomio irriducibile di $K[X]$ di grado $4$).
D'altra parte non ogni elemento di $L$ il cui polinomio minimo su $K$ ha grado $4$ è un generatore di $L^(ast)$, per esempio se prendiamo $delta in L-F$, allora ovviamente $L=K(delta)$ quindi il polinomio minimo di $delta$ su $K$ ha grado $4$, d'altra parte $L^(ast)$ ha $varphi(2^(12)-1)=1728$ generatori e $|L-F|=2^(12)-2^6=4032$, quindi esistono elementi di $L-F$ che non generano $L^(ast)$ (ma comunque hanno tutti polinomio minimo su $K$ di grado $4$, come ti ho mostrato sopra).
Quindi non puoi nemmeno sperare di mostrare che $beta$ genera $L^(ast)$, dipende dal polinomio $g(X)$.
"Martino":
Prendiamo un generatore $gamma$ del gruppo moltiplicativo $L^(ast)$.
Allora $L=K(gamma)=\mathbb{F}_2(gamma)$, penso che fin qui ci siamo.
Siccome $|L:K|=4$, il polinomio minimo di $gamma$ su $K$ ha grado $4$.
Non ho ben capito perchè $L=K(gamma)$ e il polinomio minimo di $gamma$ su $K$ ha grado $4$.
...
per esempio se prendiamo $delta in L-F$, allora ovviamente $L=K(delta)$ quindi il polinomio minimo di $delta$ su $K$ ha grado $4$
Anche qui non ho capito perchè $L=K(delta)$.
$K(gamma)=L$ perché $K(gamma)$ contiene tutte le potenze di $gamma$, cioè contiene $L^(ast)$.
Il grado $|L:K|$ vale $4$ per costruzione. D'altra parte $K(gamma)=L$, quindi $4=|L:K|=|K(gamma):K|$, che è il grado del polinomio minimo di $gamma$ su $K$.
$K(delta)$ sta tra $K$ e $L$, quindi può essere solo $K,F$ o $L$. Ma non può essere $K$ né $F$ perché abbiamo preso $delta$ fuori da $F$. Quindi $K(delta)=L$.
Il grado $|L:K|$ vale $4$ per costruzione. D'altra parte $K(gamma)=L$, quindi $4=|L:K|=|K(gamma):K|$, che è il grado del polinomio minimo di $gamma$ su $K$.
$K(delta)$ sta tra $K$ e $L$, quindi può essere solo $K,F$ o $L$. Ma non può essere $K$ né $F$ perché abbiamo preso $delta$ fuori da $F$. Quindi $K(delta)=L$.
"Martino":
$K(gamma)=L$ perché $K(gamma)$ contiene tutte le potenze di $gamma$, cioè contiene $L^(ast)$.
Scusa mi sto un attimo perdendo, con $K(gamma)$ indichi l insieme ${f(gamma)| finK[X]}$ oppure l'insieme ${f(gamma)/g(gamma)| f,ginK[X], g(gamma)!=0}$?
Il secondo che hai detto, che peraltro coincide col primo che hai detto perché $gamma$ è algebrico su $K$.
"Martino":
Il secondo che hai detto, che peraltro coincide col primo che hai detto perché $gamma$ è algebrico su $K$.
A quindi tu dici di prendere i polinomi $0,x,x^2,...,x^ninK[X]$ e quindi valutati in $gamma$ danno $0,gamma,gamma^2,...,gamma^ninK(gamma)$ e quindi siccome $gamma$ genera $L^(ast)$ allora $L^(ast)subK(gamma)$ e inoltre $0inK(gamma)$ allora $K(gamma)=L$? Non potrebbe essere però che $LsubK(gamma)$?
Sì certo, e $L$ non può essere propriamente contenuto in $K(gamma)$ perché $gamma$ appartiene a $L$.
"Martino":
$L$ non può essere propriamente contenuto in $K(gamma)$ perché $gamma$ appartiene a $L$.
Scusa il fatto che $gamma$ appartiene a $L$ come dimostrerebbe che $L$ non è contenuto propriamente in $K(gamma)$? In teoria per mostrare questo dovrei far vedere che $f(gamma)inL$ per ogni $finK[X]$ no?
Ma $f(gamma)$ è ottenuto a partire da $gamma in L$ e dagli elementi di $K$ (che sono tutti contenuti in $L$) facendo operazioni di campo (somme, sottrazioni, moltiplicazioni, divisioni) quindi è chiaro che $f(gamma) in L$. Questo è un fatto teorico molto di base.
"Martino":
Ma $f(gamma)$ è ottenuto a partire da $gamma in L$ e dagli elementi di $K$ (che sono tutti contenuti in $L$) facendo operazioni di campo (somme, sottrazioni, moltiplicazioni, divisioni) quindi è chiaro che $f(gamma) in L$
Ah dici il fatto che un polinomio di $K[X]$ qualunque è della forma $a_nx^n+...+a_1x+a_0$ dove $a_n,...,a_0inK$
e quindi $f(gamma)=a_ngamma^n+...+a_1gamma+a_0$ ma sappiamo che $gamma,...,gamma^ninL$ e inoltre $a_n,...,a_0inL$ poichè $L$ è un estensione di $K$ e quindi $f(gamma)inL$ per le operazioni di campo. Non ci avevo pensato scusa
Sì esatto, che scusa, niente figurati 
"Martino":
Sì esatto, che scusa, niente figurati
Intendevo scusa per la banalità di quella domanda sul fatto che $K[gamma]=L$
Ok
"Martino":
Ok
Comunque è molto strano che non si può sapere in base a $g$ perchè si tratta di un esame degli anni passati dato che mi sto esercitando per l'esame e dare una domanda del genere è alquanto strana se ha questa risposta ahahahah. Però per come mi hai mostrato tu è cosi quindi sono perplesso ahhahah.
Non puoi provare a mandare una mail al docente? Mi sembra la soluzione migliore. Oppure andare a ricevimento.
"Martino":
Non puoi provare a mandare una mail al docente? Mi sembra la soluzione migliore. Oppure andare a ricevimento.
Si proverò a chiederglielo infatti, grazie dell'aiuto
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