Divisione di polinomi
Se ho un campo $F$, sia $P(x)=a_0+a_1x+a_2x^2+a_3x^3+...+a_nx^n$ un polinomio irriducibile a coefficienti in $F$,sia $x_1$ una radice, quindi $P(x_1)=0$ , eseguendo la divisione del suddetto polinomio per il fattore lineare $(x-x_1)$ si ottiene il polinomio $b_0+b_1x+b_2x_2+......+b_(n-1)x^(n-1)$ i coefficienti di questo polinomio dovranno appartenere al campo $F(x_1)$?
Risposte
Esatto.
Iterando questo procedimento, si arriva alla scomposizione del polinomio in fattori lineari $P(x)=(x-x_2)(x-x_2)(x-x_3).....×(x-x_n)$
e quindi si raggiunge il campo di spezzamento di tale polinomio $E=F(x_1,x_2,.....,x_n)$ giusto? I possibili modi in cui si può costruire questo campo di spezzamento, non sono i possibili automorfismi che costituiscono il gruppo di Galois del polinomio in oggetto?
e quindi si raggiunge il campo di spezzamento di tale polinomio $E=F(x_1,x_2,.....,x_n)$ giusto? I possibili modi in cui si può costruire questo campo di spezzamento, non sono i possibili automorfismi che costituiscono il gruppo di Galois del polinomio in oggetto?
"francicko":Lo hai detto in modo un po' vago ma sostanzialmente la risposta è sì.
Iterando questo procedimento, si arriva alla scomposizione del polinomio in fattori lineari $P(x)=(x-x_2)(x-x_2)(x-x_3).....×(x-x_n)$
e quindi si raggiunge il campo di spezzamento di tale polinomio $E=F(x_1,x_2,.....,x_n)$ giusto?
I possibili modi in cui si può costruire questo campo di spezzamento, non sono i possibili automorfismi che costituiscono il gruppo di Galois del polinomio in oggetto?Qui invece siamo nel campo della filosofia pura. Cosa intendi quando dici che i modi in cui si può costruire il campo di spezzamento sarebbero i possibili automorfismi? Un modo (?) di costruire un campo è un automorfismo? Cos'è un modo di costruire un campo?
Hai ragione, quando non riesco a capire dei concetti sconfino nella filosofia!
Ancora una domanda, supponiamo che abbia un elemento $alpha$ algebrico sul campo $F$, e che il suo polinomio minimo di grado $n$, quindi irriducibile sia $p(x)$, ed indicato con $E$ il suo campo di spezzamento risulti $F(alpha)=E$, in taso una base del campo$E$, visto come spazio vettoriale su $F$ sarà $[1,alpha, alpha^2,......,alpha^(n-1)]$, il suo gruppo di galois avrà ordine $n$, come sarà fatto questo gruppo di sostituzioni?Avrà delle particolarità?
Puoi fornirmi esempi di questo caso?
Grazie!
Ancora una domanda, supponiamo che abbia un elemento $alpha$ algebrico sul campo $F$, e che il suo polinomio minimo di grado $n$, quindi irriducibile sia $p(x)$, ed indicato con $E$ il suo campo di spezzamento risulti $F(alpha)=E$, in taso una base del campo$E$, visto come spazio vettoriale su $F$ sarà $[1,alpha, alpha^2,......,alpha^(n-1)]$, il suo gruppo di galois avrà ordine $n$, come sarà fatto questo gruppo di sostituzioni?Avrà delle particolarità?
Puoi fornirmi esempi di questo caso?
Grazie!
Devi almeno supporre che l'estensione sia separabile o che $F$ sia perfetto (cioè che ogni sua estensione algebrica sia separabile), ti consiglio di scegliere $F=QQ$ se non hai particolari motivi per studiare altri campi. Ogni estensione algebrica di $QQ$ è separabile (cioè i polinomi irriducibili in $QQ[X]$ non hanno radici multiple in nessuna estensione di $QQ$).
Quanto alle tue domande, sì una base è quella che hai detto. Tuttavia il gruppo di Galois in quel caso non avrà nessuna particolarità speciale per il semplice motivo che esiste un teorema, che si chiama teorema dell'elemento primitivo (clic!), che dice che ogni estensione finita separabile di un campo $F$ è del tipo $F(alpha)$ per qualche $alpha$.
Quindi se $E$ è il campo di spezzamento di $p(x)$ su $F$, e supponiamo $E$ separabile (questo succede per esempio nel caso $F=QQ$), allora esisterà un elemento $alpha in E$ tale che $E=F(alpha)$ ed $E$ risulta essere campo di spezzamento per il polinomio minimo $q(x)$ di $alpha$ su $F$.
In altre parole, tutte le estensioni di Galois (= normali e separabili) finite possono essere realizzate come $E=F(alpha)$ dove $alpha$ è radice di un certo $f(x) in F[X]$ e $E$ è campo di spezzamento di $f(x)$ su $F$.
Quanto alle tue domande, sì una base è quella che hai detto. Tuttavia il gruppo di Galois in quel caso non avrà nessuna particolarità speciale per il semplice motivo che esiste un teorema, che si chiama teorema dell'elemento primitivo (clic!), che dice che ogni estensione finita separabile di un campo $F$ è del tipo $F(alpha)$ per qualche $alpha$.
Quindi se $E$ è il campo di spezzamento di $p(x)$ su $F$, e supponiamo $E$ separabile (questo succede per esempio nel caso $F=QQ$), allora esisterà un elemento $alpha in E$ tale che $E=F(alpha)$ ed $E$ risulta essere campo di spezzamento per il polinomio minimo $q(x)$ di $alpha$ su $F$.
In altre parole, tutte le estensioni di Galois (= normali e separabili) finite possono essere realizzate come $E=F(alpha)$ dove $alpha$ è radice di un certo $f(x) in F[X]$ e $E$ è campo di spezzamento di $f(x)$ su $F$.
Aggiungerei che quindi il problema posto da OP è equivalente a "quali gruppi finiti appaiono come gruppi di Galois su $F$?", altresì noto come problema di Galois inverso. Notoriamente aperto con $F=\mathbb Q$. Per alcuni $F$ invece, come $\mathbb C(t)$, la risposta è "tutti".
Scegliendo $F=Q$ sia $Q(alpha_1)=E$, gli automorfismi saranno in numero di $n$, cioè tanti quanti le radici $alpha_1->alpha_1$, $alpha_1->alpha_2$, ,.....,$alpha_1->alpha_n$
il gruppo di galois nel caso sia $n=p$ primo sarà ciclico , giusto?
il gruppo di galois nel caso sia $n=p$ primo sarà ciclico , giusto?
Sì esatto.
Sia sempre $F=Q$ ed $Q(alpha_1)=E$ , sia $phi$ un automorfismo , se $a_0+a_1x_1+a_2x_1^2+.....+a_kx_1^k=x_2$ allora $ phi(a_0)+phi(a_1x_2)+phi(a_1x_2^2)+.....+phi(a_kx_2^k)=phi(x_2)=x_i$ vero?
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