Caratterizzazione ciclici
Penso di aver visto un teorema che dice qualcosa di simile.
G ciclico <=> Per ogni n tale che n | |G| esiste un unico sottogruppo di G di cardinalità n
Non riesco a fare nessuna delle due frecce oggi disastro
G ciclico <=> Per ogni n tale che n | |G| esiste un unico sottogruppo di G di cardinalità n
Non riesco a fare nessuna delle due frecce oggi disastro
Risposte
Ti invito a mostrare qualche tuo tentativo (come previsto dal [regolamento]1_2[/regolamento] e ad usare le [formule][/formule].
Ti invito ad incominciare supponendo che \(G\) sia ciclico dato che è la direzione più facile. Prova ad identificare quei sottogruppi in \(\mathbf{Z}_{42}\) e vedrai che capirai come risolvere il caso generale. Il caso contrario è un po' più tecnico e necessita di usare la funzione totiente di Eulero.
Ti invito ad incominciare supponendo che \(G\) sia ciclico dato che è la direzione più facile. Prova ad identificare quei sottogruppi in \(\mathbf{Z}_{42}\) e vedrai che capirai come risolvere il caso generale. Il caso contrario è un po' più tecnico e necessita di usare la funzione totiente di Eulero.
Ok scusate sono nuovo penso di aver fatto una implicazione.
(Chiaramente mi sono dimenticato nelle ipotesi G finito)
Comunque tornando a noi.
Siano H,K $<=$ G t.c. |H|=|K|=d $=>$ HK=KH e H,K,HK ciclici, perchè G ciclico.
Inoltre |HK|=$(|H||K|)/(|H|nn|K|)$
$=>$ p.a. d$<$|HK| $=>$ $EE$ x$in$ H$vv$K t.c. d$<$o(x) ASSURDO.
$=>$ |HK|=d $=>$ H=K.
Spero di essere stato chiaro e che si capisca.
(Chiaramente mi sono dimenticato nelle ipotesi G finito)
Comunque tornando a noi.
Siano H,K $<=$ G t.c. |H|=|K|=d $=>$ HK=KH e H,K,HK ciclici, perchè G ciclico.
Inoltre |HK|=$(|H||K|)/(|H|nn|K|)$
$=>$ p.a. d$<$|HK| $=>$ $EE$ x$in$ H$vv$K t.c. d$<$o(x) ASSURDO.
$=>$ |HK|=d $=>$ H=K.
Spero di essere stato chiaro e che si capisca.
Ok scusate sono nuovo penso di aver fatto una implicazione.
(Chiaramente mi sono dimenticato nelle ipotesi G finito)
Comunque tornando a noi.
Siano H,K $<=$ G t.c. |H|=|K|=d $=>$ HK=KH e H,K,HK ciclici, perchè G ciclico.
Inoltre |HK|=$(|H||K|)/(|H|nn|K|)$
$=>$ p.a. d$<$|HK| $=>$ $EE$ x$in$ H$vv$K t.c. d$<$o(x) ASSURDO.
$=>$ |HK|=d $=>$ H=K.
Spero di essere stato chiaro e che si capisca.
(Chiaramente mi sono dimenticato nelle ipotesi G finito)
Comunque tornando a noi.
Siano H,K $<=$ G t.c. |H|=|K|=d $=>$ HK=KH e H,K,HK ciclici, perchè G ciclico.
Inoltre |HK|=$(|H||K|)/(|H|nn|K|)$
$=>$ p.a. d$<$|HK| $=>$ $EE$ x$in$ H$vv$K t.c. d$<$o(x) ASSURDO.
$=>$ |HK|=d $=>$ H=K.
Spero di essere stato chiaro e che si capisca.
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