Costruzione del Campo di spezzamento

[francicko]

Sia $p^n(x)=a_0+a_1x+a_2x^2+....+a_nx^n$ il polinomio irriducibile in $Q$ di grado $n$,sia $x_1$ una radice, dividendo per il fattore lineare $(x-x_1)$ si ottiene il polinomio $p^(n-1)(x)=b_0+b_1x+b_2x^2+...+b_(n-1)x^(n-1)$, i cui coefficienti apparterranno al campo $Q(x_1)$ ora volendo iterare il procedimento partendo dall'estensione $Q(x_1)$ , dovrebbe essere il polinomio
$p^(n-1)$ irriducibile su tale estensione, in modo che quozientando ottengo ancora un campo , giusto?
Ma chi mi dice che questo polinomio sia irriducibile in $Q(x_1)$?

[Studente Anonimo]

"francicko":Ma chi mi dice che questo polinomio sia irriducibile in $Q(x_1)$?

In generale non lo è, dipende. Per esempio prova a porti queste domande per $x^3-1$ e $x^3-2$.

[francicko]

Nel caso del polinomio di terzo grado $p^3(x)=x^3-2$ una radice è $alpha=root(3)(2)$ , l'estensione $Q(alpha)$ non contiene le altre due radici , se provo a dividere il polinomio per il fattore lineare $(x-alpha)$ ottengo un polinomio di secondo grado a coefficienti in $Q(alpha)$ ma ivi irriducibile , perché se non lo fosse le due radici dovrebbero appartenere a tale estensione, cosa non vera.Chiaramente ciò avviene in questo particolare caso perché il grado del polinomio è $3$, quindi ogni generalizzazione è impossibile.
Ponendo $Q(alpha)=K$ e indicando con $alpha_1$ un altra radice si avrà $[K(alpha_1):K]=2$. Quindi $[K(alpha_1):Q]=6$.