Disuguaglianza
Dimostrare che, per ogni $x, y, z >0$, si ha:
$x+y+z <= 2(x^2/(y+z)+y^2/(x+z)+z^2/(x+y))$.
$x+y+z <= 2(x^2/(y+z)+y^2/(x+z)+z^2/(x+y))$.
Risposte
Secondo me c'è qualcosa di sbagliato:
- o c'è un altro modo per risolvere la questione
- o avete sbagliato sezione
Cauchy-Schwarz non fa parte del programma di scuola secondaria
- o c'è un altro modo per risolvere la questione
- o avete sbagliato sezione
Cauchy-Schwarz non fa parte del programma di scuola secondaria
Sicuramente c'è un altro modo per risolvere il quesito, che però io non conosco (sarebbe interessante vedere come procedere senza usare Cauchy-Schwarz).
Cauchy-Schwarz viene usata molto anche in problemi simili (e anche più facili) a quelli presenti nelle olimpiadi di matematica, quindi non vedo perché non dovrebbe andare bene in questa sezione.
Una curiosità: ma AM-GM fa parte del programma di scuola secondaria?
Cauchy-Schwarz viene usata molto anche in problemi simili (e anche più facili) a quelli presenti nelle olimpiadi di matematica, quindi non vedo perché non dovrebbe andare bene in questa sezione.
Una curiosità: ma AM-GM fa parte del programma di scuola secondaria?
Quello sì, il mio intervento era una specie di sfida ad usare quel metodo.
Il mio intervento và in direzione opposta a quella di @melia 
Esercizio: trovare gli errori nella seguente soluzione
... Notiamo che se la disuguaglianza è rispettata per $(x,y,z)$, allora lo è anche per $(\alpha x,\alpha y, \alpha z)$ per $\alpha >0$ e viceversa. Chiamiamo $x+y+z=k$. Allora possiamo imporre un vincolo su $k$ a gratis moltiplicando per l'opportuno $\alpha$. Scegliamo $k=3$ e poi http://en.wikipedia.org/wiki/Nesbitt%27s_inequality
Esercizio: trovare gli errori nella seguente soluzione
... Notiamo che se la disuguaglianza è rispettata per $(x,y,z)$, allora lo è anche per $(\alpha x,\alpha y, \alpha z)$ per $\alpha >0$ e viceversa. Chiamiamo $x+y+z=k$. Allora possiamo imporre un vincolo su $k$ a gratis moltiplicando per l'opportuno $\alpha$. Scegliamo $k=3$ e poi http://en.wikipedia.org/wiki/Nesbitt%27s_inequality
Questa va bene? 
Comunque la nessbit penso sia sbagliata perchè non c'è la struttura, cioè omogeneizzando non si riconduce direttamente a quella forma credo.
Però in quel modo, con $k=1$ si ottiene $1 <= 2(x^2/(1-x)+y^2/(1-y)+z^2/(1-z))$ che è vera per la convessità di $f(x)= x^2/(1-x)$. Non so quanto sia lecito come metodo
Comunque la nessbit penso sia sbagliata perchè non c'è la struttura, cioè omogeneizzando non si riconduce direttamente a quella forma credo.
Però in quel modo, con $k=1$ si ottiene $1 <= 2(x^2/(1-x)+y^2/(1-y)+z^2/(1-z))$ che è vera per la convessità di $f(x)= x^2/(1-x)$. Non so quanto sia lecito come metodo
"xXStephXx":
Comunque la nessbit penso sia sbagliata perchè non c'è la struttura, cioè omogeneizzando non si riconduce direttamente a quella forma credo.
Che intendi?
Non capisco bene perchè dovrebbe funzionare la nessbit. Ponendo $x+y+z=3$ a destra non ottieni un'espressione che ha la forma della nessbit, quei quadrati non dovrebbero esserci per farla funzionare Dovresti almeno ricondurla ad un'espressione omogenea di grado $0$ per avere possibilità di applicarla credo
Trall'altro il $k=3$ serve solo per far venire $3/2$ ma se funzionasse con $k=3$ dovrebbe funzionare con qualsiasi $k$ visto che a destra è totalmente arbitrario.
Dovresti almeno ricondurla ad un'espressione omogenea di grado $0$ per avere possibilità di applicarla credo Trall'altro il $k=3$ serve solo per far venire $3/2$ ma se funzionasse con $k=3$ dovrebbe funzionare con qualsiasi $k$ visto che a destra è totalmente arbitrario.
Si l'errore stà in quei quadrati in effetti non hanno la stessa forma ... Ad ogni modo, buona la modifica ponendo $k=1$!
... Ad ogni modo, buona la modifica ponendo $k=1$!
Ecco una soluzione da prima liceo:
\(\left(x-\frac{y+z}{2}\right)^{2}=x^{2}-x(y+z)+\frac{\left(y+z\right)^{2}}{4}\geq0\)
\(\frac{x^{2}}{y+z}\geq x-\frac{y+z}{4}\)
\(\frac{y2}{z+x}\geq y-\frac{z+x}{4}\)
\(\frac{z2}{x+y}\geq z-\frac{x+y}{4}\)
\(\frac{x^{2}}{y+z}+\frac{y2}{z+x}+\frac{z2}{x+y}\geq x+y+z-\frac{2x+2y+2z}{4}=\frac{x+y+z}{2}\)
\(\left(x-\frac{y+z}{2}\right)^{2}=x^{2}-x(y+z)+\frac{\left(y+z\right)^{2}}{4}\geq0\)
\(\frac{x^{2}}{y+z}\geq x-\frac{y+z}{4}\)
\(\frac{y2}{z+x}\geq y-\frac{z+x}{4}\)
\(\frac{z2}{x+y}\geq z-\frac{x+y}{4}\)
\(\frac{x^{2}}{y+z}+\frac{y2}{z+x}+\frac{z2}{x+y}\geq x+y+z-\frac{2x+2y+2z}{4}=\frac{x+y+z}{2}\)
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