Comunque lontani

[axpgn]

Sia dato un quadrato con il lato lungo un chilometro.
Dividiamolo in tre parti $A, B, C$.

Dimostrare che, in qualsiasi modo si effettui la divisione, esiste sempre una coppia di punti $P$ e $Q$, appartenenti alla stessa parte, la cui distanza $PQ$ è maggiore di $1,00778\text( km)$.


Cordialmente, Alex

[Quinzio]

In modo intuitivo si puo' pensare che le distanze maggiori si possono realizzare prendendo i punti P, Q sul bordo del quadrato.
Quindi, concentrandosi sul bordo del quadrato, si puo' fare una suddivisione dei punti del bordo in una delle tre regioni.
Per minimizzare le distanze che si possono raggiungere da un punto all'altro della stessa regione, sempre rimanendo sul bordo del quadrato, conviene compattare tutti i punti della stessa regione in un unico "segmento".
Quindi tutto cio' si concretizza individuando 3 punti sul bordo del quadrato. I punti individuano 3 parti sul bordo (3 spezzate per essere piu' precisi).
I 3 punti che minimizzano le distanze tra i punti (della stessa regione) sono disposti secondo un triangolo equilatero. Uno dei vertici del triangolo coincide con un vertice del quadrato.
La distanza massima cosi' realizzata pero' ammonta a $1/cos(15°) \approx 1.0352 $.
Che pero' e' ben maggiore della soluzione suggerita nel testo del problema.

[axpgn]

@Quinzio

Per OGNI suddivisione, non per una in particolare (altrimenti basta la diagonale )

Cordialmente, Alex

[Folpo13]

E' estremamente approssimativa come prova ma ci "provo" ...

Sappiamo che $\bar(AG)=\bar(BF)=...=\bar(HB)=sqrt(10)/3~=1,054>1,00778$

Se muovo uno qualsiasi dei vertici $B$,$C$,$F$ e $G$ per ogni segmento che si accorcia ce n'è uno che si allunga, quindi ci sarà sempre un segmento più lungo di $1,054$

Ma questa è una prova (probabilmente nemmeno esaustiva) soltanto nel caso che tutte le sezioni intersecano il perimetro, che non è una premessa

[axpgn]

@Folpo13

Il "difetto" è lo stesso del post di Quinzio cioè parti da una suddivisione particolare e penso sia difficile (se non impossibile) estenderle ad una generalizzazione.

Cordialmente, Alex

[axpgn]

Nessuno?


Cordialmente, Alex

[veciorik]

Ho ribaltato il problema arrivando a quella che credo sia la tripartizione ottimale, corrispondente a quella individuata da Quinzio.
Costruisco una figura, composta da tre figure elementari, che circoscrive il quadrato.
Spero che la spiegazione sia corretta e convincente:

Chiamo $d = "diametro"$ la massima distanza tra 2 punti di una figura.
Scelgo come componenti 3 cerchi di uguale $"diametro"$ in modo da non privilegiare alcuna direzione.
Li sovrappongo in modo che i 3 centri siano i vertici di un triangolo equilatero con lato uguale ai raggi.
Le 3 intersezioni delle circonferenze formano un triangolo equilatero i cui lati sono uguali ai $"diametri"$.
Unendo le 3 intersezioni ricavo il quadrato "massimo" inscritto nel "tricerchio".
NB: in un quadrato il $"diametro"$ è la diagonale.
Un vertice del quadrato deve coincidere con una delle 3 intersezioni altrimenti 4 vertici non possono stare in 3 parti distinte.
Il vertice opposto deve stare sulla "tricirconferenza" nel punto più lontano dal primo vertice.
Gli altri due vertici devono stare sulla "tricirconferenza" in posizioni obbligate, per ottenere il quadrato desiderato, i cui lati formano angoli di $15°$ e $75°$ e $45°$ con i lati del triangolo delle intersezioni.
Il rapporto tra il diametro comune $d$ alle 3 parti colorate (ottenute ricomponendo vari pezzi dei 3 cerchi) ed il lato del quadrato massimo inscritto vale $d=1/cos(15°)=sqrt(2)(sqrt(3)-1)=1.03527618$.

[axpgn]

Il problema a me appare chiarissimo ma si vede che non è così

La proprietà "esiste sempre una coppia di punti $ P $ e $ Q $, appartenenti alla stessa parte, la cui distanza $ PQ $ è maggiore di $ 1,00778\text( km) $" deve valere per QUALSIASI suddivisione venga fatta, non per una ripartizione specifica (come sono quelle che avete indicato finora).

Anzi, dico di più: secondo me, con "qualsiasi suddivisione" si intende anche una qualsiasi ripartizione casuale dei punti del quadrato in tre insiemi diversi.
Peraltro questa è una mia personale conclusione quindi non tenetene conto.

Cordialmente, Alex

[veciorik]

Non trovo altro se non la tripartizione che minimizza i diametri. Eccola:

[Quinzio]

"veciorik":Ho ribaltato il problema arrivando a quella che credo sia la tripartizione ottimale, corrispondente a quella individuata da Quinzio.

Ohhh.... che bel disegno che hai fatto. Nei miei scarabocchi su un foglio di carta avevo anche io disegnato i cerchi e addirittura avevo messo l'angolo in comune tra il triangolo e il quadrato in basso a sinistra.

[axpgn]

Boh, non so più come dirlo ... non è possibile dimostrare quanto enunciato esibendo una specifica suddivisione; questo perché le tripartizioni sono infinite e tutte godono di quella proprietà, perciò per dimostrarlo vero andrebbero disegnate tutte e per ciascuna andrebbero trovati i due punti distanti quanto richiesto: lo ritengo improbabile

Peraltro, nel disegno di veciorik c'è un hint


Cordialmente, Alex

[Quinzio]

"axpgn":Il problema a me appare chiarissimo ma si vede che non è così

La proprietà "esiste sempre una coppia di punti $ P $ e $ Q $, appartenenti alla stessa parte, la cui distanza $ PQ $ è maggiore di $ 1,00778\text( km) $" deve valere per QUALSIASI suddivisione venga fatta, non per una ripartizione specifica (come sono quelle che avete indicato finora).

Cordialmente, Alex

Alex, non insisto piu' di tanto perche' siamo qui per divertirci e imparare qualcosa, ma non riesco a mettere bene a fuoco il tuo quesito.
E' vero che per qualsiasi suddivisione in 3 parti ci sono 2 punti che sono a distanza maggiore di 1.00778 km.
D'accordo, ci sono.
E' come se avessi scritto che ci sono 2 punti a distanza maggiore di 0.01 km.
Ok, perfetto.
Quello in cui mi ero cimentato io era di stabilire qual e' il minimo del massimo.
Ovvero, tutte le tripartizioni hanno una distanza massima.
Ho voluto stabilire qual e' il minimo raggiungibile di questa distanza massima.
E sono giunto a quel triangolo nel quadrato.
Perche' non metti la tua soluzione ? Cosi' forse mi sara' piu' chiaro cosa avevi in mente.

[Quinzio]

"axpgn":...questo perché le tripartizioni sono infinite e tutte godono di quella proprietà, perciò per dimostrarlo vero andrebbero disegnate tutte ...

Si ok.... la tripartizione triangolo nel quadrato e' quella che minimizza la distanza massima tra 2 punti della stessa regione.
E' vero che ci sono 2 punti a distanza maggiore di 1.00778 km, infatti sembra che si arriva fino a 1.0355 circa.
Qualsiasi altra tripartizione contiene due punti a distanza maggiore di 1.0355 circa...
Secondo me stiamo dicendo la stessa cosa.
Forse io mi sono voluto spingere a minimizzare la soluzione quando nessuno l'aveva chiesto.

[axpgn]

"Quinzio":Si ok.... la tripartizione triangolo nel quadrato e' quella che minimizza la distanza massima tra 2 punti della stessa regione.

Ma proprio no.

Tant'è vero che appunto la minima "distanza massima tra due punti della stessa regione" è appunto $d=1.00778...$ (è irrazionale il valore esatto e questo è un hint , anzi quello non è il massimo ma l'estremo superiore)

Provo a parafrasare il testo del problema:

Sia dato un quadrato di lato unitario.
Suddividetelo in tre parti ($A, B, C$) come vi pare e piace.
In ognuna delle tre regioni così ottenute ci sarà una coppia di punti (o anche più di una ) la cui distanza è la massima tra tutte le coppie di punti di quella regione (chiamiamole $d_A, d_B, d_C$).
Prendiamo la max tra queste: $d_(max)=max(d_A, d_B, d_C)$

Dimostrare che $1.0778

"Quinzio":Perche' non metti la tua soluzione ? Cosi' forse mi sara' piu' chiaro cosa avevi in mente.

È presto


Cordialmente, Alex

[Folpo13]

Per chiarirci...


Una tripartizione del genere sarebbe accettabile?

[axpgn]

Cosa intendi per "accettabile"? È un aggettivo che secondo me non c'entra niente col problema ...

Questa suddivisione soddisfa l'enunciato (come tutte del resto) e lo si vede immediatamente dato che la regione B contiene una coppia di punti (i due vertici opposti del quadrato) che distano tra loro $sqrt(2)>1.00778$


Cordialmente, Alex

[veciorik]

Sia ABCD il quadrato unitario, M il punto medio di AB, P l'intersezione tra l'asse di DM ed il lato BC.
Quindi $ \ PM = PD = sqrt(65/64)=1.0077822... \ $ dove $ \ 65 = 8^2+1^2 = 4^2+7^2$

PM e PD sono i diametri dei rettangoli blu e verde. Il rosso è uguale al blu.
Ogni spostamento di P su BC e/o di M su AB aumenterebbe uno dei tre diametri.

[axpgn]

@veciorik

Siamo sempre lì.
Premesso che $P, M, D$ potrebbero tranquillamente appartenere a tre regioni diverse (quindi non avresti coppie di punti della stessa regione), la tua costruzione è sempre una sola delle possibili (anche considerando le varianti a cui accenni): e le infinite altre? Come dimostri che l'enunciato vale per tutte le altre?

Cordialmente, Alex

[axpgn]

Ecco la mia dimostrazione ...

Se consideriamo i vertici del quadrato, notiamo che è possibile ricadere in tre situazioni:

1) Esiste una regione a cui appartengono due vertici opposti.
In tal caso abbiamo che la coppia di vertici opposti dista $d=sqrt(2)>1.00778$

2) Esiste una regione che non contiene vertici del quadrato (poniamo sia $C$) mentre le altre due (poniamo $A$ e $B$) ne contengono due (ovviamente adiacenti) ciascuna.
Disegniamo il quadrato $A_1A_2B_2B_1$ dove i vertici $A_i$ appartengono alla regione $A$ mentre i $B_i$ appartengono alla regione $B$.
Sul lato $A_1B_1$ fissiamo il punto $N$ tale che sia $A_1N=1/4$ e sul lato $A_2B_2$ fissiamo il punto $M$ tale che sia $A_2M=1/2$.
Se $M$ appartiene alla parte $A$, prendiamo $P=M$ e $Q=A_1$ e quindi $PQ=sqrt(5/4)>1.00778$
Se $M$ appartiene alla parte $B$, prendiamo $P=M$ e $Q=B_1$ e quindi $PQ=sqrt(5/4)>1.00778$
Se $N$ appartiene alla parte $A$, prendiamo $P=N$ e $Q=A_2$ e quindi $PQ=sqrt(17/16)>1.00778$
Se $N$ appartiene alla parte $B$, prendiamo $P=N$ e $Q=B_2$ e quindi $PQ=5/4>1.00778$
Se né $M$ nè $N$ appartengono alla parte $A$ o alla parte $B$ allora necessariamente appartengono alla parte $C$, perciò prendiamo $P=M$ e $Q=N$ e quindi $PQ=sqrt(17/16)>1.00778$

3) Esiste una regione che contiene due vertici adiacenti (poniamo sia $A$) mentre le altre due (poniamo $B$ e $C$) ne contengono uno ciascuna.
Disegniamo il quadrato $A_1A_2C_1B_1$ dove i vertici $A_i$ appartengono alla regione $A$ mentre il vertice $B_1$ appartiene alla regione $B$ e il vertice $C_1$ appartiene alla regione $C$.
Il punto medio $M$ del lato $B_1C_1$ può appartenere ad una qualsiasi delle tre regioni.
Se $M$ appartiene alla regione $A$ allora prendiamo $P=M$ e $Q=A_1$ e quindi $PQ=sqrt(5/4)>1.00778$.
Se $M$ appartiene alla regione $B$, consideriamo il punto $N$ sul lato $A_1B_1$ tale che sia $A_1N=1/8$.
Consideriamo tre possibilità: a) $N in A$, b) $N in B$, c) $N in C$.
Fissiamo $P=N$ qualsiasi sia la regione a cui $N$ appartiene, allora:
- se a), prendiamo $Q=A_2$ e quindi $PQ=sqrt(65/64)>1.00778$
- se b), prendiamo $Q=M$ e quindi $PQ=sqrt(65/64)>1.00778$
- se c), prendiamo $Q=C_1$ e quindi $PQ=sqrt(113/64)>1.00778$
Infine, se $M$ appartiene alla regione $C$ allora consideriamo il punto $N_1$ sul lato $A_2C_1$ tale che sia $A_2N_1=1/8$ e replichiamo lo stesso ragionamento appena fatto nel caso $M in B$.

Finito

Adesso non rimane che dimostrare che non si può "rimpiazzare" $1.00778...=sqrt(65/64)$ con un numero più grande

Cordialmente, Alex