$20$ e $200$

[axpgn]

Sia $N$ un numero pari non divisibile per $10$.

Qual è la cifra delle decine nel numero $N^20$ e qual è la cifra delle centinaia nel numero $N^200$ ?



Cordialmente, Alex

[Folpo13]

Per il punto 1:

So che $2^20=2^10\cdot2^10=1024\cdot1024$ per la seconda cifra mi basta calcolare $24\cdot24=576$. La cifra delle decine è $7$

So che $(2+10k)^20=2^20+20\cdot2^19\cdot10k+...+10^20k^20$ con $k\inNN$

È facile vedere che solo il primo termine influenza la penultima cifra e quindi tutti i numeri che terminano per $2$ elevati alla $20$ hanno come cifra delle decine $7$.

Inoltre $4^20=2^20\cdot2^20$ che ha la stessa cifra delle decine di $76\cdot76=5376$ quindi ancora $7$. Analogamente a come abbiamo fatto per $2$ si può vedere che nell' sviluppo di $(4+10k)^20$ l'unico termine che influenza la cifra delle decine è il primo.

Di nuovo: $8^20=4^20\cdot2^20$ che ha la stessa cifra delle decine di $76\cdot76$ che abbiamo già dimostrato essere $7$.

$3^5=243$
$3^10$ ha la cifra delle decine di $43\cdot43=1849$
$3^20$ di $49\cdot49=2401$
$6^20$ di $76\cdot1=76$ quindi $7$

Penso si possa fare lo stesso lavoro anche per il punto 2

Edit:

Noto che le ultime cifre sono sempre $76$ se elevo alla decima le ultime cifre sono quelle di $76^10$ che sono sempre appunto $76$, quindi la cifra delle decine è $7$

[j18eos]

@Folpo13

Non è detto che \(N\) abbia per ultima cifra \(2\)!

[Folpo13]

Ho considerato come ultime cifre possibili $2$, $4$, $6$ e $8$. Non va bene come ho fatto?

[j18eos]

Ho riletto meglio; ma...

"Folpo13":[...]So che $(2+10k)^20=2^20+20\cdot2^19\cdot10k+...+10^20k^20$ con $k\inNN$

È facile vedere che solo il primo termine influenza la penultima cifra[...]

Perché?

[Folpo13]

$(2+10k)^(20)=2^20+20\cdot2^19\cdot10k+((20),(2))2^18\cdot10^2k^2+...+10^20k^20$

$=2^20+2^19\cdot2\cdot10^2k+2^18\cdot((20),(2))\cdot10^2k^2+...+10^20k^20$ dal secondo termine in poi il $10$ ha sempre esponente $>=2$, quindi influenza solo dalle cifre delle centinaia in poi

[axpgn]

"Folpo13":Penso si possa fare lo stesso lavoro anche per il punto 2 ...

E quindi, come si fa?

Va bene per $N^20$ ...

Un modo più compatto è questo:
$N$ è della forma $5k+-1$ o $5k+-2$, sviluppando i binomi alla ventesima si nota che tutti e quattro danno come resto $1$ quando divisi per $25$ quindi le possibilità, per le cifre finali sono quattro ($01, 26, 51, 76$) ma solo l'ultimo di questi è divisibile per quattro (così come $N$)

Cordialmente, Alex

[Folpo13]

"axpgn":[quote="Folpo13"]Penso si possa fare lo stesso lavoro anche per il punto 2 ...

E quindi, come si fa?

[/quote]

Sarebbe l'edit

Ho dimostrato che $N^20$ ha come cifra delle decine $7$ e che elevando questo numero alla $10$ ho di nuovo $7$ come cifra delle decine

[axpgn]

Peccato che per $N^200$ si richiedeva la cifra delle centinaia

Cordialmente, Alex

[Folpo13]

"axpgn":Peccato che per $N^200$ si richiedeva la cifra delle centinaia

Cordialmente, Alex

Che pirla

Comunque agirei nella stessa maniera...

Guardo $2^200$ quale cifra delle centinaia ha (se non ho sbagliato a fare i conti è $3$:
$24\cdot24=576$ quindi di $2^20$
$576\cdot576=331.776$ di $2^40$
$776\cdot776=602.176$ di $2^80$
$176\cdot176\cdot776=24.037.376$ di $2^200$

Poi dimostro che nello sviluppo di $(2+10k)^200$ solo il primo termine influenza la cifra delle centinaia eccetera...

Più che altro sono incuriosito da come l'hai risolto te.

"axpgn":

$ N $ è della forma $ 5k+-1 $ o $ 5k+-2 $, sviluppando i binomi alla ventesima si nota che tutti e quattro danno come resto $ 1 $ quando divisi per $ 25 $ quindi le possibilità, per le cifre finali sono quattro ($ 01, 26, 51, 76 $) ma solo l'ultimo di questi è divisibile per quattro (così come $ N $)

Nello specifico non ho capito come fai a dire che $(5k+-2)^20$ dà come resto $1$ se diviso per $25$ (aritmetica modulare?). Inoltre sbaglio io o è $N^20$ divisibile per $4$ (e non $N$)?

[axpgn]

"Folpo13":Nello specifico non ho capito come fai a dire che $(5k+-2)^20$ dà come resto $1$ se diviso per $25$ (aritmetica modulare?). ...

No, sviluppo i binomi.
$(5k+-2)^20=(5k)^20+-20*2*(5k)^19+...+-20*5k*2^19+2^20$
Tutti i termini, tranne l'ultimo, sono chiaramente divisibili per $25$ mentre $2^20=(2^10)^2=(1024)^2=(1025-1)^2$ dà come resto $1$

"Folpo13": Inoltre sbaglio io o è $ N^20 $ divisibile per $ 4 $ (e non $ N $)?

Sì, intendevo $N^20$ (mi sono perso l'esponente ).

Cordialmente, Alex

[Folpo13]

Ora mi è tutto chiaro

Stavo provando a fare il secondo punto con il tuo metodo... So che dovrebbe verificarsi che $2^200-=1 \text( (mod 125))$ per vedere che le uniche possibili ultime cifre sono $376$ perché divisibili per $8$. Come faresti tu?

[axpgn]

Sostanzialmente allo stesso modo di prima ...

Sappiamo che $N$ ha una di queste forme $5k+-1$ o $5k+-2$.

$N^100=(5k+-1)^100=(5k)^100+-...+(100*99)/(1*2)(5k)^2+-100*5k+1$ dove tutti i termini tranne l'ultimo contengono $5^3$ come fattore quindi il resto della divisione per $125$ è $1$

$N^100=(5k+-2)^100=(5k)^100+-...+(100*99)/(1*2)(5k)^2*2^98+-100*5k*2^99+2^100$, anche qui tutti i termini tranne l'ultimo contengono $5^3$ come fattore quindi il resto della divisione dipende da $2^100$ che possiamo vedere come $(5-1)^50=5^50-...+(50*49)/(1*2)*5-50*5+1$ e quindi anche qui il resto della divisione per $125$ è $1$.

Quindi $N^100=125k+1$ e perciò $N^200=(125k+1)^2=(125k)^2+250k+1$

Ne consegue che le tre cifre finali di $N^200$ possono essere solo $001, 126, 251, 376, 501, 626, 751, 876$

Ma $N^200$ è divisibile per $8$ [vedi $(N^20)^10$] quindi l'unica possibilità è $376$.

Cordialmente, Alex

[Folpo13]

Ecco, perfetto...

Mi mancava l'intuizione di scrivere $2^100$ come $(5-1)^50$.