$sum_(k=1)^9((k/10)^2+sqrt(k/10))<9,5$

[giuseppe87x]

Si dimostri, senza utilizzare la calcolatrice che:

$sum_(k=1)^9((k/10)^2+sqrt(k/10))<9,5$

[Thomas16]

Ho una sol brutta con stime integrali e somme dei primi n quadrati (ma applicabile a mano)...

Non la posto perchè è un pò fuori luogo... ditemi cmq se la volete...

byez

[eafkuor1]

"giuseppe87x":Si dimostri, senza utilizzare la calcolatrice che:

$sum_(k=1)^9(k/10)^2+sqrt(k/10))<9,5$

$sum_(k=1)^9(k/10)^2=((9(9+1)(2*9+1))/6)(1/100)=285/100=57/20$

$sum_(k=1)^9sqrt(k/10)
quindi

$sum_(k=1)^9(k/10)^2+sqrt(k/10))<18/5+57/20<9,5$

[Thomas16]

"eafkuor":

$sum_(k=1)^9sqrt(k/10)

ci sono 2 errori nella seconda stima:

1- il segno và invertito (se esegui la radice quadrata di un numero minore di uno il numero aumenta);

2- la somma fà $45/10$;

[giuseppe87x]

Non sapete risolverlo diversamente?

[eafkuor1]

"Thomas":(se esegui la radice quadrata di un numero minore di uno il numero aumenta);

Eh si, errore di distrazione

[giuseppe87x]

Ragazzi se osservate che $sqrt(k/10)$ è la funzione inversa di $(k/10)^2$, non vi viene proprio niente in mente?

[Thomas16]

Boh...ci penserò Giuseppe...
intanto mi è venuta in mente una soluzione senza integrali. Per $x<1$

$sqrt(x)=x+(sqrt(x)-x)=x+(x-x^2)/(sqrt(x)+x)
$=x/2+1/2$

da cui posso stimare la seconda sommatoria:

$sum_(k=1)^9$ $(sqrt(k/10))<0.4+sum_(k=2)^9$ $(sqrt(k/10))$

$<0.4+(4.5-0.1)/2+0.5*8= 6.6$

(utilizzando anche calcoli di Eaufkuor, ho stimato a parte il primo termine dalla sommatoria perchè dava fastidio)

La prima sommatoria si calcola in modo esatto e fà $2.85$.

$6.6+2.85<9.5$....

Penserò anche alle inverse prima o poi... può essere utile che il grafico dell'inversa è il simmetrico rispetto alla bisettrice?

[giuseppe87x]

"Thomas":Penserò anche alle inverse prima o poi... può essere utile che il grafico dell'inversa è il simmetrico rispetto alla bisettrice?

Esattamente

[Thomas16]

Uffi.... Giuseppe proprio non mi viene... però mi sto avvicinando, credo... pian piano eh... ecco un'altra sol, un pò più grafica ora... non usa integrali, ma derivate si ........ lo so che c'è la sol di una riga... ma oramai non c'ho più la poca mano che avevo con questi esercizi...



Disegno le 2 funzioni $y=x^2$ e $y=sqrt(x)$ sul piano cartesiano. Si origina un quadrato. La sommatoria può essere vista come lunghezza di alcuni segmenti.

Per esempio prendiamo il settimo termine. Questo equivale a prendere l'ascissa $0.7$ (chiamiamo il punto sulle ascisse $A$), a tracciare la verticale che incontra in due punti (chiamiamo $B$ e $C$) le due curve (simmetriche rispetto alla bisettrice) e che incontra in $D$ la parallela all'asse delle ascisse passante per $(0,1)$. Ora il settimo termine della sommatoria equivale ad $AB+AB+CB=(1+AB-CD)$ (*).
Si noti che grazie alla simmetria CD può anche essere ottenuto tracciando la parallela all'asse delle ascisse passante per $(1,0.7)$ e vedendo dove incontra la funzione $y=x^2$.

Facendo il disegno e sommando nove relazioni come (*) si ottiene Sommatoria = 9 + (somma segmenti verticali con inizio in $(0.k,0)$ e con termine nell punto in cui incontrano la funzione $y=x^2$) - (somma dei segmenti orizzontali con primo estremo in $(1,0.k)$ e secondo estremo nel punto in cui incontrano $y=x^2$). Con $k$ che varia da 1 a 9.

La lunghezza dei segmenti verticali è $2.85$, come si calcola con metodi dei post precedenti.

La lunghezza dei segmenti orizzontali è maggiore di $0.6 + (0.1+0.2+...+0.8)/2=2.4$ (il primo segmento quello più lungo è stato stimato a mano, mentre la somma deriva dal fatto che la funzione $y=x^2$ ha derivata $2$ in $x=1$, tracciando la tangente si ricava facilmente una stima).

Mettendo assieme Sommatoria $< 9+2.85-2.4<9.5$.

E ora mi accorgo che tutto questo procedimento grafico è niente meno quello algebrico che ho fatto due post fà, nulla di più, nulla di meno (i calcoli sono esattamente gli stessi)..... Va bè... uff....

[Thomas16]

ah Giuseppe87x...io ho abbandonato già da tempo l'ambizione di trovare una soluzione semplice... mi pare che puoi postare la tua, per completezza ... questo topic è rimasto aperto per tutta pasqua oramai... se qualcuno avesse voluto rispondere, l'avrebbe già fatto!!

ciao!

[Sk_Anonymous]

"giuseppe87x":Si dimostri, senza utilizzare la calcolatrice che:

$sum_(k=1)^9((k/10)^2+sqrt(k/10))<9,5$

Scusate tanto, eh... Ma quel 9,5 non vi sembra un tantino largo, come bound?! Perciò com'è che ancora non l'avete risolto?! E poi quali stime integrali... -_-"

[Thomas16]

beh...caro DavidHilbert... ci sono anche almeno altri 2 metodi qualitativamente diversi che ho proposto senza stime integrali (che per altro hanno il loro senso di esistere), uno più algebrico ed uno più geometrico. Quelle sono le mie soluzioni. e voglia di cercarne altre non ne ho. Se vuoi proporre la tua sei ben accetto, no?

In quanto alla domanda, beh... no, non lo trovo alto come bound...

saluti

[Sk_Anonymous]

Boh, vorrà dire che ho le allucinazioni... La funzione $f: [0, +\infty[ \to \mathbb{R}$ $: x \to x^{1/2}$ è concava, e perciò - dalla disuguaglianza di Jensen: $57/20 + \sum_{k=1}^9 x^{1/2}/10 = 57/20 + 9/10 \cdot \sum_{k=1}^9 f(k)/9 \le 57/20 + 9/10 \cdot f(\sum_{k=1}^9 k/9) = 57/20 + 9/10 \cdot \sqrt{5} < 5$. Ancora convinto che non sia un tantino largo, quel bound lassù?

[Thomas16]

wow la dis di jensen... quanto tempo che non la vedevo ... non me la ricordo nemmeno bene a dire il vero... in effetti però forse me la riguardo. Alla fine era solo convessità se ben ricordo...

Guarda a me la somma fatta a mano viene $8.906$ (abbondo con i decimali )... se non ho sbagliato...

ed in realtà si dimostra velocemente che è maggiore di $57/20*2=5.7$

[Sk_Anonymous]

Eh, abbonda, abbonda pure...

[giuseppe87x]

Eccomi ritornato...

"Thomas":ah Giuseppe87x...io ho abbandonato già da tempo l'ambizione di trovare una soluzione semplice... mi pare che puoi postare la tua, per completezza Wink ... questo topic è rimasto aperto per tutta pasqua oramai... se qualcuno avesse voluto rispondere, l'avrebbe già fatto!! Laughing

Thomas io non ho una soluzione semplice per questo problema però il testo da dove l'ho preso mi suggeriva di sfruttare la simmetria tra le due funzioni; quindi ho creduto che ci fosse un metodo più semplice delle solite stime integrali per risolvero, per questo ho chiesto qui sul forum. A questo punto credo che il tuo metodo geometrico possa andare bene però il fatto stesso che il quesito fosse situato in un capitolo in cui si parla di funzioni lascia intuire che esista una soluzione alternativa a quelle che abbiamo proposto finora.
Ciao

[Sk_Anonymous]

"DavidHilbert":La funzione $f: [0, +\infty[ \to \mathbb{R}$ $: x \to x^{1/2}$ è concava, e perciò - dalla disuguaglianza di Jensen: $57/20 + \sum_{k=1}^9 x^{1/2}/10 = 57/20 + 9/10 \cdot \sum_{k=1}^9 f(k)/9 \le 57/20 + 9/10 \cdot f(\sum_{k=1}^9 k/9) = 57/20 + 9/10 \cdot \sqrt{5} < 5$.

giuseppe87x, yu-uuuh?! Ci sei? Ce la fai?? Sei connesso???

[giuseppe87x]

Ah scusa, ho letto il post di Thomas e ho subito risposto, poi ho abbandonato il topic.

Hai detto bene, quel bound è tanto e tu con Jensen sei arrivato a dire che la sommatoria è addirittua minore di 5. Ebbene questa secondo me è l'ulteriore prova che non è necessario andare a scomodare Jensen e che esiste un metodo semplice semplice, meno preciso, in questo caso della disuguaglianza di Jensen, ma che permetta subito di dimostrare la tesi. Sbaglio??

[Sk_Anonymous]

"giuseppe87x":Sbaglio??

Esiste di sicuro. Ma non è escluso che sia indimostrabile provarlo. A proposito... Sapete - no!? - che in questi giorni ricorre il centenario della nascita di Goedel?

[Thomas16]

ma allora ho sbagliato a pigiare i tasti? va bè...