Irrazionalità di $sum_(n=0)^infty 1/(2^(2^n))$
Dimostrare che
$sum_(n=0)^infty 1/(2^(2^n))$
è irrazionale.
PS scusate per il casino di prima
$sum_(n=0)^infty 1/(2^(2^n))$
è irrazionale.
PS scusate per il casino di prima
Risposte
Proprio nessuno riesce a dimostrarlo?
Ciao, ciao!
Ciao, ciao!
Sembra interessante. Hai usato il metodo per assurdo?
"Crook":
Sembra interessante. Hai usato il metodo per assurdo?
Ho fatto così, noi sappiamo che se un numero è irrazionale in base 10 lo è anchè in base 5, in base 113...
Allora passiamo in base 2. Abbiamo che $1/(2^k)$ corrisponde a $0,00...001$ in binario, dove gli zeri tra la virgola e l'uno sono esattamente $k-1$.
Quindi la somma $sum_(n=0)^infty 1/(2^(2^n))$ in binario è
0.1+
0.001+
0.00000001+
0.0000000000000001+
.............
la quale ha uno sviluppo illimitato e non periodico dato che la differenza $2^(n+1)-2^n$ cresce esponezialmente.
Ciao, ciao!
Chiaro. Sei impressionante.
"Crook":
Chiaro. Sei impressionante.
Grazie!
Per curiosità, ti incontrerai con qualche professore universitario?
"Crook":
Per curiosità, ti incontrerai con qualche professore universitario?
Il 7 e 8 gennaio mi dovrei incontrare con Luca Lussardi, con un pò di impegno siamo riusciti a organizzare!
Ci farete sapere degli esiti degli incontri, spero.
"Crook":
Ci farete sapere degli esiti degli incontri, spero.
Si, si vi faremo sapere...
Il problema più difficile sarebbe dimostrare che
$sum_(n=1)^infty 1/(2^n-1)$
è irrazionale, non ci sono riuscito. Qualcuno ha qualche idea in proposito?
.
Voglio fare lo "sborone",anche se sono ...leggermente piu' grande di karl23.
Ragiono per assurdo e pongo (a e b interi):
$a/b=1/(2^(2^0))+1/(2^(2^1)) +1/(2^(2^2))+...+1/(2^(2^(n-1))) +1/(2^(2^n))+1/(2^(2^(n+1)))+1/(2^(2^(n+2)))+....$
Moltiplichiamo il tutto per $2^(2^n)*b$:
$2^(2^n)*a-b(2^(2^n-2^0)+2^(2^n-2^1)+...+2^(2^n-2^(n-1))+1)=1/(2^(2^(n+1)-2^n))+1/(2^(2^(n+2)-2^n))+1/(2^(2^(n+3)-2^n))+1/(2^(2^(n+4)-2^n))+ 1/(2^(2^(n+5)-2^n))+............$
Per semplicita' indichiamo con c il primo membro di quest'ultima diseguaglianza:
$c=1/(2^(2^n*1))+1/(2^(2^n*3))+1/(2^(2^n*7))+1/(2^(2^n*15))+1/(2^(2^n*31))+.....$
Ora e' certamente:
$|c|<1/(2^(2^n*1))+1/(2^(2^n*3))+1/(2^(2^n*5))+1/(2^(2^n*7))+1/(2^(2^n*9))+ ....=1/(2^(2^n)-1)$
da cui si vede che mentre il primo membro e' un intero il secondo membro si puo' rendere piccolo quando si vuole al crescere di n.
Archimede.
Ragiono per assurdo e pongo (a e b interi):
$a/b=1/(2^(2^0))+1/(2^(2^1)) +1/(2^(2^2))+...+1/(2^(2^(n-1))) +1/(2^(2^n))+1/(2^(2^(n+1)))+1/(2^(2^(n+2)))+....$
Moltiplichiamo il tutto per $2^(2^n)*b$:
$2^(2^n)*a-b(2^(2^n-2^0)+2^(2^n-2^1)+...+2^(2^n-2^(n-1))+1)=1/(2^(2^(n+1)-2^n))+1/(2^(2^(n+2)-2^n))+1/(2^(2^(n+3)-2^n))+1/(2^(2^(n+4)-2^n))+ 1/(2^(2^(n+5)-2^n))+............$
Per semplicita' indichiamo con c il primo membro di quest'ultima diseguaglianza:
$c=1/(2^(2^n*1))+1/(2^(2^n*3))+1/(2^(2^n*7))+1/(2^(2^n*15))+1/(2^(2^n*31))+.....$
Ora e' certamente:
$|c|<1/(2^(2^n*1))+1/(2^(2^n*3))+1/(2^(2^n*5))+1/(2^(2^n*7))+1/(2^(2^n*9))+ ....=1/(2^(2^n)-1)$
da cui si vede che mentre il primo membro e' un intero il secondo membro si puo' rendere piccolo quando si vuole al crescere di n.
Archimede.
"archimede":
karl23.
.
"carlo23":
Si, si vi faremo sapere...
Il problema più difficile sarebbe dimostrare che
$sum_(n=1)^infty 1/(2^n-1)$
è irrazionale, non ci sono riuscito. Qualcuno ha qualche idea in proposito?
Non basterebbe dimostrare che $sum_(m=1)^infty sum_(n=1)^infty 1/(2^n)^m$ è irrazionale, dato che $1/(n-1)= sum_(i=1)^infty 1/(n)^i$? l'n nella seconda è un numero qualsiasi.
"Crook":
[quote="archimede"] karl23.
.[/quote]carlo23 è karl ?????
(non capisco)
Per Wedge e Crook.
Ho scritto karl23 per fare un complimento a carlo23 accostandolo,per ora nel nome
in seguito chissa',a Karl Friedrich Gauss.
Niente messaggi subliminali,quindi !
Il karl a cui vi riferite e' un "mitico" (sic!!!) forumista di matematicamente di cui
certamente qualcuno si ricordera' .....
Archie
Ho scritto karl23 per fare un complimento a carlo23 accostandolo,per ora nel nome
in seguito chissa',a Karl Friedrich Gauss.
Niente messaggi subliminali,quindi !
Il karl a cui vi riferite e' un "mitico" (sic!!!) forumista di matematicamente di cui
certamente qualcuno si ricordera' .....
Archie
Come dimenticare il grande karl. Purtroppo è da molto che ha deciso non frequentare più questo forum. Peccato!
"archimede":
Il karl a cui vi riferite e' un "mitico" (sic!!!) forumista di matematicamente di cui
certamente qualcuno si ricordera' .....
certo, ricordiamo con nostalgia
Scusatemi, ma chi è questo Karl?
Forse un "ex" membro di matematicamente?
Forse un "ex" membro di matematicamente?
E' tutt'ora iscritto al forum. E' stato (e per me resta) un grande forumista, che partecipava e alimentava questo forum con quesiti sempre interessanti (soprattutto di aritmetica!).
Eccolo qui http://www.matematicamente.it/f/profile.php?mode=viewprofile&u=494
Come mai non partecipa più?
Come mai non partecipa più?
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