Rette parallele e punti equidistanti - SNS 1968
"In un piano sono date tre rette parallele $r$, $s$ e $t$: la retta $s$ è tra le altre due e contiene un punto assegnato $A$. Determinare le parti della retta $r$ costituite dai punti $X$ per i quali passa almeno una retta che incontra le rette $s$, $t$ in punti equidistanti da $A$."
Chiamo $alpha$ l'inclinazione della retta passante per $X$, che determina i punti $S$ e $T$ sulle rette $s$ e $t$. Ne consegue che il triangolo isoscele $AST$ ha gli angoli alla base pari a $alpha$. Poiché $STt$ (cioè l'angolo di vertice $T$ delimitato dalla semiretta $t$ e da $TS$) è pari ad $alpha$, allora $TX$ è la bisettrice dell'angolo $ATt$.
A partire da A, che è dato, si possono ricostruire le regioni di spazio su cui trovare $X$, mandando fasci di rette verso $t$ e costruendo da $T$ la bisettrice dell'angolo ottenuto.
Il problema è capire poi che regioni per $X$ ottengo.
Un'ipotesi che mi era venuta in mente è che tali regioni dipendano dalla distanza orizzontale di $X$ da $A$. Ad esempio se una retta esce da $A$ con inclinazione $x$ rispetto alla verticale, poi (costruendo la bisettrice dell'angolo che si forma, che è pari a $90+x$) risale con inclinazione $(90+x)/2$ rispetto all'orizzontale. Chiamando $d_1$ e $d_2$ le distanze fra le rette $r$ e $s$, e fra $s$ e $t$, ottengo che la distanza orizzontale di $X$ da $A$ è $d_2*tgx + (d_1+d_2)*tg((90-x)/2)$, che però è un'espressione bella complicata..
Come trovo le regioni di $X$?
Chiamo $alpha$ l'inclinazione della retta passante per $X$, che determina i punti $S$ e $T$ sulle rette $s$ e $t$. Ne consegue che il triangolo isoscele $AST$ ha gli angoli alla base pari a $alpha$. Poiché $STt$ (cioè l'angolo di vertice $T$ delimitato dalla semiretta $t$ e da $TS$) è pari ad $alpha$, allora $TX$ è la bisettrice dell'angolo $ATt$.
A partire da A, che è dato, si possono ricostruire le regioni di spazio su cui trovare $X$, mandando fasci di rette verso $t$ e costruendo da $T$ la bisettrice dell'angolo ottenuto.
Il problema è capire poi che regioni per $X$ ottengo.
Un'ipotesi che mi era venuta in mente è che tali regioni dipendano dalla distanza orizzontale di $X$ da $A$. Ad esempio se una retta esce da $A$ con inclinazione $x$ rispetto alla verticale, poi (costruendo la bisettrice dell'angolo che si forma, che è pari a $90+x$) risale con inclinazione $(90+x)/2$ rispetto all'orizzontale. Chiamando $d_1$ e $d_2$ le distanze fra le rette $r$ e $s$, e fra $s$ e $t$, ottengo che la distanza orizzontale di $X$ da $A$ è $d_2*tgx + (d_1+d_2)*tg((90-x)/2)$, che però è un'espressione bella complicata..
Come trovo le regioni di $X$?
Risposte
traccia la circonferenza con centro in $A$ e tangente a $t$. chiama $T$ il punto di tangenza e chiama $S_1$ ed $S_2$ i punti di intersezione con la retta $s$. traccia le rette $TS_1$ e $TS_2$, e chiama $R_1$ ed $R_2$ i punti d'intersezione con la retta $r$. il segmento $R_1R_2$ dovrebbe essere $X$. per convincertene, prova a tracciare altre circonferenze con centro in $A$ ...
spero di aver capito il problema, di non aver preso abbagli e di essere stata chiara. ciao.
spero di aver capito il problema, di non aver preso abbagli e di essere stata chiara. ciao.
Credo che il luogo $X$ sia la retta $r$ meno il segmento $R_{1}R_{2}$.
"WiZaRd":
Credo che il luogo $X$ sia la retta $r$ meno il segmento $R_{1}R_{2}$.
questa è la cosa che inizialmente mi era venuta in mente, smentita dal disegno fatto a mano.
poiché sei un mago dei disegni geometrici, perché non ne posti uno (con la circonferenza tangente ed una con un raggio maggiore) e ne parliamo con una buona "visualità"?
EDIT: forse va eliminato dal segmento $R_1R_2$ il punto appartenente alla retta $AT$.
Ho rivalutato la mia risposta: credo che il luogo sia $r \setminus S'_{1}S'_{2}$ ove $S'_{1}$ e $S'_{2}$ sono le proiezioni su $r$ di $S_{1}$ e $S_{2}$ rispettivamente.
grazie, WiZaRd.
vedendo il disegno, mi sono convinta che le nostre soluzioni iniziali non erano corrette.
non sono ancora convinta che la soluzione sia esattamente la tua ultima versione: perché tutti e soli quei punti?
sarebbe opportuno vedere quali rette vanno a finire "vicino" ai punti $S'_1, S'_2$.
vedendo il disegno, mi sono convinta che le nostre soluzioni iniziali non erano corrette.
non sono ancora convinta che la soluzione sia esattamente la tua ultima versione: perché tutti e soli quei punti?
sarebbe opportuno vedere quali rette vanno a finire "vicino" ai punti $S'_1, S'_2$.
Sia $a$ una retta condotta per un punto di $S'_{1}S'_{2}$: questa retta incontra la retta cui appartiene $A$ in un punto $S_{3}$ e la retta cui appartiene $T$ in un punto $T_{1}$ di modo che $T_{1}$ si trovi nel semipiano che contiene $A$ rispetto alla parallela alla retta $AT$ condotta per $S_{3}$ (questo perché $S_{3}$ e $T_{1}$ sono conciclici di centro $A$).
Se $T\equivT_{1}$ allora $AS_{3}
Questo prova (almeno credo) il "soli".
Adesso sono alla ricerca della prova del "tutti".
Che ne dici?
Se $T\equivT_{1}$ allora $AS_{3}
Questo prova (almeno credo) il "soli".
Adesso sono alla ricerca della prova del "tutti".
Che ne dici?
nel frattempo, non convinta, ho affrontato il problema con la geometria analitica, ed ho ottenuto il minimo valore dell'ascissa di $R in r$...
se chiamo $A'$ la proiezione di $A$ su $r$, risulta $AR=sqrt(h(h+2k))$, dove $h="dist"{s,t}, k="dist"{r,s}$.
prova a verificare. ciao.
se chiamo $A'$ la proiezione di $A$ su $r$, risulta $AR=sqrt(h(h+2k))$, dove $h="dist"{s,t}, k="dist"{r,s}$.
prova a verificare. ciao.
Scusatemi, mi sono sfuggiti un po' di passaggi..
Vuol dire che il punto d'intersezione fra la retta che passa per $X$ e la retta $t$ deve essere sempre il punto $T$ come da te definito?
"adaBTTLS":
traccia la circonferenza con centro in $A$ e tangente a $t$. chiama $T$ il punto di tangenza e chiama $S_1$ ed $S_2$ i punti di intersezione con la retta $s$. traccia le rette $TS_1$ e $TS_2$, e chiama $R_1$ ed $R_2$ i punti d'intersezione con la retta $r$. il segmento $R_1R_2$ dovrebbe essere $X$. per convincertene, prova a tracciare altre circonferenze con centro in $A$ ...
Vuol dire che il punto d'intersezione fra la retta che passa per $X$ e la retta $t$ deve essere sempre il punto $T$ come da te definito?
no.
sul disegno di WiZaRd, la costruzione è data dalla circonferenza verde e dalle due rette, tra loro perpendicolari, che formano angoli di 45° con r,s,t. le circonferenze con raggio maggiore sono naturalmente quelle in rosso, e le rette tracciate in corrispondenza di tali circonferenze non passano per T.
la soluzione che hai citato non è corretta. vedi i post successivi.
sul disegno di WiZaRd, la costruzione è data dalla circonferenza verde e dalle due rette, tra loro perpendicolari, che formano angoli di 45° con r,s,t. le circonferenze con raggio maggiore sono naturalmente quelle in rosso, e le rette tracciate in corrispondenza di tali circonferenze non passano per T.
la soluzione che hai citato non è corretta. vedi i post successivi.
Ho capito, grazie ancora!
prego.
sei riuscita a trovare un modo più semplice per arrivare alla soluzione?
hai verificato il risultato trovato da me con la geometria analitica (ed anche con l'aiuto dell'analisi)?
sei riuscita a trovare un modo più semplice per arrivare alla soluzione?
hai verificato il risultato trovato da me con la geometria analitica (ed anche con l'aiuto dell'analisi)?
No, non ci ho ancora provato.. Se tiro fuori qualcosa, lo posto.
Ho verificato il risultato di adaBTTLS col software che uso per fare i disegni e torna: non riesco mai a fare una circonferenza rossa che mi a una retta che passi per un punto posto a distanza minore di quella trovata da $A'$.
A questo punto, domanda: adaBTTLS, come hai trovato quella radice?
A questo punto, domanda: adaBTTLS, come hai trovato quella radice?
ho detto di essere ricorsa alla geometria analitica, ed anche all'analisi. non escludo che si possa fare con la trigonometria, ma a quel punto, non sapendo il risultato, ho scelto la via che mi sembrava meno rischiosa.
ho considerato, nel piano cartesiano, $A(0,0), r: y=k, s: y=0, t: y= -h, S(h,0), T(0, -h), h,k>0$, avendo preso la circonferenza iniziale $x^2+y^2=h^2$, ed $S in s$, punto di ascissa positiva. ho lavorato solo con i punti di ascissa positiva.
la retta ST ha equazione $y=x-h$. messa a sistema con $r$ dà il punto $R(h+k, k)$.
una circonferenza di centro $A$ e raggio $l>h$ ha equazione $x^2+y^2=l^2$, e le intersezioni con $s,t$ sono $S'(l,0), T'(sqrt(l^2-h^2), -h)$.
ho scritto l'equazione della retta $S'T'$ e l'ho messa a sistema con l'equazione di $r$, trovando ${[x=l/h (h+k)-k/h sqrt(l^2-h^2)], [y=k] :}$
ho fatto un po' di discussioni sulla $x$, poi però ho derivato $x$ rispetto ad $l$ ed ho trovato il minimo per $l^2=(h(h+k)^2)/(h+2k)$, $x=sqrt(h(h+2k))$.
molti calcoli e procedimento poco entusiasmante...
ho considerato, nel piano cartesiano, $A(0,0), r: y=k, s: y=0, t: y= -h, S(h,0), T(0, -h), h,k>0$, avendo preso la circonferenza iniziale $x^2+y^2=h^2$, ed $S in s$, punto di ascissa positiva. ho lavorato solo con i punti di ascissa positiva.
la retta ST ha equazione $y=x-h$. messa a sistema con $r$ dà il punto $R(h+k, k)$.
una circonferenza di centro $A$ e raggio $l>h$ ha equazione $x^2+y^2=l^2$, e le intersezioni con $s,t$ sono $S'(l,0), T'(sqrt(l^2-h^2), -h)$.
ho scritto l'equazione della retta $S'T'$ e l'ho messa a sistema con l'equazione di $r$, trovando ${[x=l/h (h+k)-k/h sqrt(l^2-h^2)], [y=k] :}$
ho fatto un po' di discussioni sulla $x$, poi però ho derivato $x$ rispetto ad $l$ ed ho trovato il minimo per $l^2=(h(h+k)^2)/(h+2k)$, $x=sqrt(h(h+2k))$.
molti calcoli e procedimento poco entusiasmante...
Io ho trovato una soluzione diversa dalle precedenti; non ho controllato se il risultato coincide con quello di adaBTTLS.
Indico con $2a$ la distanza fra $r,s$ e con $2b$ quella fra $s,t$; chiamo $S,T$ i citati punti equidistanti da $A$; $K$ è il loro punto medio e quindi appartiene alla retta $u$, parallela alle precedenti e distante $b$ da $s,t$.
Poiché $AK$ è mediana relativa alla base di un triangolo isoscele, ne è anche altezza: quindi l'angolo $A hat K X$ è retto, e $K$ sta sulla circonferenza $gamma$ di diametro $AX$.
I precedenti ragionamenti sono invertibili, quindi ci sono soluzioni se e solo se $gamma$ interseca $u$. Il centro $C$ di $gamma$ sta sulla retta intermedia fra $r,s$, quindi per avere intersezioni il raggio deve essere maggiore o uguale ad $a+b$: $AC>=a+b->AX>=2a+2b$.
Conclusione: $X$ deve essere esterno alla circonferenza di centro $A$ e raggio uguale alla distanza $r,t$.
Indico con $2a$ la distanza fra $r,s$ e con $2b$ quella fra $s,t$; chiamo $S,T$ i citati punti equidistanti da $A$; $K$ è il loro punto medio e quindi appartiene alla retta $u$, parallela alle precedenti e distante $b$ da $s,t$.
Poiché $AK$ è mediana relativa alla base di un triangolo isoscele, ne è anche altezza: quindi l'angolo $A hat K X$ è retto, e $K$ sta sulla circonferenza $gamma$ di diametro $AX$.
I precedenti ragionamenti sono invertibili, quindi ci sono soluzioni se e solo se $gamma$ interseca $u$. Il centro $C$ di $gamma$ sta sulla retta intermedia fra $r,s$, quindi per avere intersezioni il raggio deve essere maggiore o uguale ad $a+b$: $AC>=a+b->AX>=2a+2b$.
Conclusione: $X$ deve essere esterno alla circonferenza di centro $A$ e raggio uguale alla distanza $r,t$.
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