$y^2=x^3+339$

[Lord K]

Si trovino tutte le soluzioni intere, se esistono, della seguente Equazione di Mordell:

[tex]y^2=x^3+339[/tex]

Nel caso non esistessero dare una motivazione.

[Studente Anonimo]

Potresti specificare se conosci una soluzione?

[Lord K]

So che non ci sono soluzioni dalla teoria, ma la dimostrazione non è banale a quanto mi dicono ed io non conosco ancora la dimostrazione.

[krek1]

Potrebbe non esserci alcuna soluzione a valori interi per questa equazione.

Almeno una coppia $x,y$ l'hai trovata?

[Lord K]

Ripeto che non ci sono soluzioni, ma come dimostrarlo? Seguendo il teorema di Nagell-Lutz (teoria delle curve ellittiche) faccio vedere ce non ce ne sono di ordine finito, ma per quelli di ordine infinito non sono ancora riuscito a fare nulla.

[j18eos]

"Lord K":So che non ci sono soluzioni dalla teoria...

Veramente io ho letto il contrario dal tuo link e da wikipedia.

[Lord K]

"j18eos":[quote="Lord K"]So che non ci sono soluzioni dalla teoria...

Veramente io ho letto il contrario dal tuo link e da wikipedia.[/quote]

Allora smentiscimi con una soluzione

[Studente Anonimo]

"j18eos":[quote="Lord K"]So che non ci sono soluzioni dalla teoria...

Veramente io ho letto il contrario dal tuo link e da wikipedia.[/quote]Non credo che wikipedia fornisca la lista di tutti e soli gli interi per cui non ci sono soluzioni (infatti mette i puntini).
Per esempio vedi qui: anche il caso n=46 non produce soluzioni intere (teorema 2.5).

[j18eos]

Ho letto male: Mordell ha dimostrato che per ogni [tex]$n\in\mathbb{N}$[/tex] l'equazione data ammette al più finite "soluzioni intere".

@Lord K: Ti è più facile dimostrare che abbia o meno soluzioni razionali eppoi da ciò arrivare alle soluzioni intere? Credo che sia un suggerimento valido da un profano in geometria algebrica\teoria dei numeri!

[Lord K]

"j18eos":Ho letto male: Mordell ha dimostrato che per ogni [tex]$n\in\mathbb{N}$[/tex] l'equazione data ammette al più finite "soluzioni intere".

@Lord K: Ti è più facile dimostrare che abbia o meno soluzioni razionali eppoi da ciò arrivare alle soluzioni intere? Credo che sia un suggerimento valido da un profano in geometria algebrica\teoria dei numeri!

Ci sono dei metodi, tra i quali il citato Teorema di Nagell-Lutz che permettono doi trovare le soluzioni intere con ordine finito (ovvero che mediante le operazioni di gruppo su curva ellittica ci sono un numero di passi finito per raggiungere il punto zero). Per tutti gli altri punti non ci sono specifiche semplici ed alcuni metodi sfociano nello studio della famigerata congettura conosciuta come Congettura di Taniyama-Shimura che porta alle forme modulari.

Onde evitare di scomodare cotanti cannoni, pensavo potessimo discutere di un metodo un poco meno pesante.