[EX] Sul confronto di integrali
Un esercizio per stimolare un po' la fantasia.
***
Problema:
Supponiamo di avere assegnati due punti [tex]$a
1. [tex]$f(0)=g(0)$[/tex] (senza ledere la generalità, in quel che segue si potrà supporre che [tex]$f(0)=0=g(0)$[/tex]);
2. [tex]$f(x)> g(x)$[/tex] in [tex]$[0,a]$[/tex].
Evidentemente, per ogni [tex]$\xi \in ]0,a]$[/tex] vale la relazione:
(*) [tex]$\int_0^\xi f(x)\ \text{d} x> \int_0^\xi g(x)\ \text{d} x$[/tex];
tuttavia ciò non consente, in generale, di prevedere quale relazione intercorra tra [tex]\int_0^a f(x)\ \text{d} x[/tex] ed [tex]\int_0^b g(x)\ \text{d} x[/tex]: infatti, se [tex]$g(x)$[/tex] è sufficientemente grande in [tex]$]a,b]=[0,b]\setminus [0,a]$[/tex], oppure se [tex]$]a,b]$[/tex] è sufficientemente ampio, può benissimo accadere che:
[tex]$\int_0^a f(x)\ \text{d} x -\int_0^a g(x)\ \text{d} x \leq \int_a^b g(x)\ \text{d} x$[/tex]
e quindi [tex]\int_0^a f(x)\ \text{d} x \leq \int_0^b g(x)\ \text{d} x[/tex].
Fatte queste considerazioni, ecco la domanda: trovare (se esiste) un modo per stabilire quando sussiste o meno una disuguaglianza del tipo:
(I) [tex]$\int_0^a f(x)\ \text{d} x\leq \int_0^b g(x)\ \text{d} x$[/tex].
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Problema:
Supponiamo di avere assegnati due punti [tex]$a
1. [tex]$f(0)=g(0)$[/tex] (senza ledere la generalità, in quel che segue si potrà supporre che [tex]$f(0)=0=g(0)$[/tex]);
2. [tex]$f(x)> g(x)$[/tex] in [tex]$[0,a]$[/tex].
Evidentemente, per ogni [tex]$\xi \in ]0,a]$[/tex] vale la relazione:
(*) [tex]$\int_0^\xi f(x)\ \text{d} x> \int_0^\xi g(x)\ \text{d} x$[/tex];
tuttavia ciò non consente, in generale, di prevedere quale relazione intercorra tra [tex]\int_0^a f(x)\ \text{d} x[/tex] ed [tex]\int_0^b g(x)\ \text{d} x[/tex]: infatti, se [tex]$g(x)$[/tex] è sufficientemente grande in [tex]$]a,b]=[0,b]\setminus [0,a]$[/tex], oppure se [tex]$]a,b]$[/tex] è sufficientemente ampio, può benissimo accadere che:
[tex]$\int_0^a f(x)\ \text{d} x -\int_0^a g(x)\ \text{d} x \leq \int_a^b g(x)\ \text{d} x$[/tex]
e quindi [tex]\int_0^a f(x)\ \text{d} x \leq \int_0^b g(x)\ \text{d} x[/tex].
Fatte queste considerazioni, ecco la domanda: trovare (se esiste) un modo per stabilire quando sussiste o meno una disuguaglianza del tipo:
(I) [tex]$\int_0^a f(x)\ \text{d} x\leq \int_0^b g(x)\ \text{d} x$[/tex].
Risposte
Provo a dirne 2, forse un po' troppo banali, ma sono curioso di sentire proposte più interessanti.
La prima idea che ho avuto è stata di riscalare i domini in modo da riferire le due funzioni allo stesso dominio. In sintesi, dovrebbe aversi che:
$int_{0}^{b} g(x)dx =int_{0}^{a} g(b/a x) b/a dx$
Per cui una condizione sufficiente, ma non necessaria, affinchè valga la (I) è che $g(b/a x) b/a >f(x)$ $AAx$.
Una seconda condizione è che $a*max_([0,a]) f < b*min_([a,b]) g$.
Inoltre propongo per chi ne voglia di dimostrare o confutare che: "Se $f$ e $g$ sono convesse e $f'_{+} (0)=g'_{+} (0)$, la (I) è soddisfatta se $f(a)-g(a)<3g(a)*(b-a)$."
La prima idea che ho avuto è stata di riscalare i domini in modo da riferire le due funzioni allo stesso dominio. In sintesi, dovrebbe aversi che:
$int_{0}^{b} g(x)dx =int_{0}^{a} g(b/a x) b/a dx$
Per cui una condizione sufficiente, ma non necessaria, affinchè valga la (I) è che $g(b/a x) b/a >f(x)$ $AAx$.
Una seconda condizione è che $a*max_([0,a]) f < b*min_([a,b]) g$.
Inoltre propongo per chi ne voglia di dimostrare o confutare che: "Se $f$ e $g$ sono convesse e $f'_{+} (0)=g'_{+} (0)$, la (I) è soddisfatta se $f(a)-g(a)<3g(a)*(b-a)$."
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