Convergenza di una topologia e non.

[fu^2]

Un simpatico esercizio sulle convergenze: questa sera mi sento in vena di proporlo a tutti un esercizio che a leggerlo sembra ovvio, ma metterlo nero su bianco causa/potrebbe causare qualche difficoltà...

Definizione:
"Diciamo che una successione [tex]\{x_n\}[/tex] in [tex]X[/tex] spazio topologico converge ad un punto [tex]\bar{x}\in X[/tex] se per ogni intorno [tex]U_{\bar{x}}[/tex] esiste un intero $n$ tale che $j>n$ implice che [tex]x_j\in U_{\bar{x}}[/tex].

In tal caso scriviamo $\lim x_n=\bar{x}$."

Definizione:
"Sia [tex]f_n:(X,\Sigma, \mu) \to \mathbb{R}[/tex] una successione di funzioni misurabili misurabili, allora diciamo che $f_n$ converge quasi ovunque ($\mu$-q.o.) a $f$ se [tex]\mu(\{f_n\nrightarrow f\})=0[/tex]

Bene! allora dimostrare che la nozione di convergenza quasi ovunque (q.o.) non è indotta da nessuna topologia sullo spazio.
Ovvero non esiste una topologia in cui la convergenza indotta sia quella data dalla convergenza q.o.

[Fioravante Patrone1]

Se $X$ è finito e prendiamo la misura che conta, mi sa che una topo c'è
Saluti dalla galleria di Ronco Scrivia!

[fu^2]

giusto... non ho pensato a quello

In verità il problema nella sua forumulazione originaria era su $RR^n$ con la misura di Lebesgue, io ho pensato (troppo ingenuamente) di metterlo in una forma più generale

Dunque ristringendoci a $RR^n$ con la misura di Lebesgue rilancio il problema

[dissonance]

Secondo me è vero ogni volta che lo spazio di misura non si riduce ad un numero finito di atomi.

Per quanto riguarda la risposta nel caso $n=1$ si può fornire questo controesempio, che però, devo confessare, non mi sono inventato, ma è stato fornito durante un corso universitario. Si tratta di una successione di funzioni $[0, 1] \to [0, 1]$ dal nome suggestivo: typewriter.

Questa successione di funzioni converge a $0$ nel senso di $L^1([0, 1])$. Allora ogni estratta converge a $0$ nel senso di $L^1([0, 1])$ e in particolare ha una sotto-estratta convergente puntualmente a $0$. Un lemma topologico (qui dimostrato da Jerome) assicura che, in uno spazio topologico, una successione tale che ogni estratta ha a sua volta una estratta convergente ad un limite uguale per tutte è essa stessa convergente a questo limite. Dunque se la convergenza puntuale q.o. fosse indotta da una topologia la successione typewriter dovrebbe essere puntualmente convergente q.o. alla funzione nulla, il che è falso.

Osserviamo che, al contrario, la convergenza puntuale ovunque è indotta da una topologia.