[EDO] Un teorema di unicità... da costruire

[gugo82]

Chiunque abbia studiato la teoria base delle equazioni differenziali ordinarie conosce il seguente:

Teorema di esistenza ed unicità locale

Sia [tex]$f:I\times J \to \mathbb{R}$[/tex] continua nel rettangolo [tex]$I\times J \subseteq \mathbb{R}^2$[/tex] e localmente lipschitziana rispetto alla seconda delle variabili da cui dipende.
Comunque si scelga il punto [tex]$(x_0,y_0)\in I^\circ \times J^\circ$[/tex], il problema di Cauchy:

(*) [tex]$\begin{cases} y^\prime (x)=f(x,y(x)) \\ y(x_0)=y_0\end{cases}$[/tex]

ha una soluzione locale intorno ad [tex]$(x_0,y_0)$[/tex]; inoltre tale soluzione è unica.

Se vi chiedessi "Cosa succede se [tex]$f$[/tex] è localmente lipschitziana non rispetto alla seconda, ma rispetto alla prima variabile da cui dipende?" i più smaliziati mi risponderebbero "Come sapeva anche Peano, la soluzione non è unica: basta scegliere [tex]$f(x,y)=3y^\frac{2}{3}$[/tex] ed [tex]$(x_0,y_0)=(0,0)$[/tex], ad esempio"...

Ebbene, allora rilancio: cosa succede se aggiungo alla lipschitzianità locale rispetto alla prima variabile anche l'ipotesi [tex]$f(x_0,y_0)\neq 0$[/tex]?

[Rigel1]

Hai già qualche idea in proposito?

A prima vista sarei propenso a pensare che le condizioni da te indicate non siano sufficienti a garantire l'unicità.
D'altra parte, possiamo scrivere
$f(x,y) = g(y) + h(x,y)$, $g(y) := f(x_0, y)$, $h(x,y) = f(x,y) - f(x_0,y)$.
Per ipotesi, esiste $C>0$ t.c.
$(1)\qquad |h(x,y)|\le C|x-x_0|$ (in un quadrato centrato in $(x_0,y_0)$).
Poiché $g(y_0) \ne 0$ per ipotesi, il P.d.C. $z'=g(z)$, $z(x_0) = y_0$ ha soluzione locale unica; questo può far pensare che anche il P.d.C. di partenza possa avere soluzione unica, grazie alla (1)...

[gugo82]

Ce l'ho, non è una domanda fatta così per caso.

Supponi [tex]$f(x_0,y_0)>0$[/tex]... Che succede se applichi il teorema di derivazione della funzione inversa?

[Rigel1]

"gugo82":
Supponi [tex]$f(x_0,y_0)>0$[/tex]... Che succede se applichi il teorema di derivazione della funzione inversa?

Hai ragione! E sì che l'inversione è stata anche la prima cosa che mi è venuta in mente, ma poi mi sono perso in altre considerazioni

[gugo82]

Ok, formalizziamo un po' il discorso.

Supponiamo, senza ledere la generalità, che [tex]$f(x_0,y_0)>0$[/tex].

Per noti fatti (leggi teorema di esistenza di Peano) sappiamo che il problema di Cauchy ha almeno una soluzione [tex]$y(x)$[/tex] di classe [tex]$C^1$[/tex] in un intorno [tex]$U \subseteq I$[/tex] di [tex]$x_0$[/tex] che assume valori in un intorno [tex]$V \subseteq J$[/tex] di [tex]$y_0$[/tex]; il fatto che [tex]$y^\prime (x_0)=f(x_0,y_0) >0$[/tex] implica che (a meno di restringere ancora un po' l'intorno [tex]$U$[/tex]) si ha [tex]$y^\prime (x) \geq \varepsilon >0$[/tex] in [tex]$U$[/tex], perciò la [tex]$y(x)$[/tex] è strettamente crescente in [tex]$U$[/tex] e dunque invertibile.
Detta [tex]$x(y)$[/tex] la funzione inversa di [tex]$y(x)$[/tex], essa è definita in [tex]$V$[/tex] ed ivi [tex]$C^1$[/tex] per il teorema di derivazione della funzione inversa; tale teorema, inoltre, implica che [tex]$x(y)$[/tex] è soluzione del problema di Cauchy:

(**) [tex]$\begin{cases} x^\prime (y)= \frac{1}{f(x(y),y)} \\ x(y_0)=x_0 \end{cases}$[/tex],

poiché infatti si ha [tex]$x(y_0)=x(y(x_0))=x_0$[/tex] ed [tex]$x^\prime (y) = \tfrac{1}{y^\prime (x(y))} =\tfrac{1}{f(x(y),y)}$[/tex] (in quanto [tex]$y(x)$[/tex] è soluzione di (*) ).
Viceversa, se [tex]$x(y)$[/tex] è soluzione di (**) allora la funzione inversa [tex]$y:=x^{-1}$[/tex] soddisfa (*); ne viene che i due problemi (*) e (**) sono equivalenti (nel senso che l'uno ha soluzione solo se l'ha l'altro).

Poniamo [tex]$g(y,x):=\tfrac{1}{f(x,y)}$[/tex]; la [tex]$g$[/tex] è positiva, [tex]$\leq \tfrac{1}{\varepsilon}$[/tex] e continua in [tex]$V\times U$[/tex] ed in più è lipschitziana nella seconda variabile poiché:

[tex]$|g(y,x_1)-g(y,x_2)| =\left| \frac{1}{f(x_1,y)} -\frac{1}{f(x_2,y)}\right| =\frac{|f(x_2,y)-f(x_1,y)|}{|f(x_1,y)\ f(x_2,y)|} \leq \frac{L}{\varepsilon^2} |x_1-x_2|$[/tex],

ove [tex]$L\geq 0$[/tex] è una costante di Lipschitz per [tex]$f$[/tex] rispetto ad [tex]$x$[/tex] in [tex]$U \times V$[/tex].

Ne consegue che il problema (**) ha soluzione unica e, passando alla funzione inversa, anche il problema (*) ha soluzione unica.

[Sk_Anonymous]

Un piccolo dubbio. Forse non è la discussione adatta, ma non sapevo dove scriverlo e visto che ho trovato questa discussione su questo teorema che mi sto riguardando, lo scrivo qui.
Essendo [tex]I[/tex] un intervallo di [tex]\mathbb{R}[/tex], cos'è [tex]I^\circ[/tex]? Non me lo ricordo più...

P.S.: Ma in TeX o LaTeX non esiste un modo per scriverlo correttamente con il pallino sopra la [tex]I[/tex] e non accanto?

[gugo82]

Se [tex]$X$[/tex] è una parte di uno spazio topologico, [tex]$X^\circ$[/tex] è il più grande (rispetto all'inclusione) aperto contenuto in [tex]$X$[/tex]; tale insieme si chiama interno di [tex]$X$[/tex].

La notazione giusta ci sarà certamente il modo di ottenerla, ma non ho mai avuto dovuto usarla finora... Perciò non saprei come fare.

[j18eos]

"ale83_webmaster":...P.S.: Ma in TeX o LaTeX non esiste un modo per scriverlo correttamente con il pallino sopra la [tex]I[/tex] e non accanto?

Io uso il comando \stackrel{...}{...}! Ma su questo forum non funziona.

EDIT: Invece, funziona... forse Stan ha provveduto oppure io non ho sempre sbagliato qualcosa. MAH!

[gugo82]

@j18eos: Ah \stackrel... E dire che lo uso per le sostituzioni negli integrali!

Insomma suggerisci [tex]$ \stackrel{\circ}{I}$[/tex]; viene bene, ma la [tex]$I$[/tex] cala un po' dal rigo.

[j18eos]

@gugo82 Invece è una funzione matematica universale, ovviamente qualcosa si restringe.

[Fioravante Patrone1]

Si impara sempre! Conoscevo il "caso particolare" delle equazioni a variabili separabili, ma non mi ero mai soffermato sul perché e percome, né tanto meno sulla estendibilità di tale risultato al caso generale. Mi domando se non si possa provare il caso generale riconducendosi in qualche modo al caso particolare delle EDO a VS. Ma in questo caso partocolare la locale lipschzianità non viene invocata! Idee brillanti in merito?

[gugo82]

@FP: A quale risultato ti riferisci?

Ad ogni modo, un modo per mettere in mezzo le equazioni a variabili separabili potrebbe essere usare il teorema di approssimazione di un operatore compatto con una successione di operatori a rango finito... Ci dovrei pensare un po'.

Ricercando in rete un po' di roba sull'argomento ho trovato questo interessante articolo:

Cid & Pouso, Does Lipschitz with Respect to $x$ Imply Uniqueness for the Differential Equation $y' = f(x, y)$?, American Mathematical Monthly 116 (2009).

In generale, trovo che lo AMM sia una rivista da tenere sempre d'occhio, soprattutto per i docenti dei corsi dei primi anni.

[Fioravante Patrone1]

"gugo82":@FP: A quale risultato ti riferisci?

Al fatto che in una EDO a VS: y'=a(x)b(y) è sufficiente la continuità del secondo membro, senza lipschitzianità, per garantire l'unicità (purché la b non si annulli nel valore iniziale).
Non so se c'entri. Forse no, magari è tutta un'altra cosa: nel caso generale la lipschitzianità rispetto a una variabile è comunque chiesta. Quindi magari sono completamente "fuori tema".