Geometria e Algebra Lineare
Discussioni su problemi, esercizi e teoremi che riguardano la geometria, l'algebra lineare e la topologia
Domande e risposte
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Salve a tutti ... volevo togliermi questo dubbio:
Il mio libro sostiene che se ho un applicazione lineare tra due spazi vettoriali coincidenti e finito dimensionali allora la matrice associata all’app. Lineare di $V$ in se stesso e’ la matrice identica se e solo se le due basi coincidono. Viceversa sostiene che , fissata una base nel dominio, la matrice associata all’app lineare corrisponde alla matrice identica solo nel caso l’applicazione sia quella identica, cioè nel caso sia ...
Ciao a tutti. Fra le mie dispense di algebra lineare, nella parte dedicata al concetto di Base e di completamento ad una base, trovo questo esercizio svolto che francamente mi sta mettendo molta difficoltà nel capire come mai nel completamento, dopo l'aggiunta dei vettori della base canonica di $ R^4 $ , scarta a priori i vettori $ e_1 $ ed $ e_2 $ per formarne una. Cioè:
Assegnati i vettori $ v_1 = ( ( 1 ),(2),( -3 ),(5) ) $ e $ v_2 = ( ( 1 ),(0),( 4 ),(-8) ) $ , che sono linearmente ...
Mi scuso in anticipo per la lunghezza del messaggio, ma oggi abbiamo visto questa dimostrazione, e diciamo che ho capito quello che fa, tranne una cosa (probabilmente fondamentale ) non ho capito perché queste argomentazioni dimostrano il teorema, qualcuno potrebbe aiutarmi?
Teorema 2.1 di Fedorov
Esistono esattamente 17 classi d'isomorfismo per un gruppo d'isometria di una tassellatura regolare.
"Dimostrazione":
Sia \( G = G_{ \mathcal{P}} = \operatorname{Isom}(\mathbb{R}^2)_{ ...
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Studente Anonimo
11 mar 2019, 20:32
Salve ragazzi! Ho due dubbi sull'ortonormalizzazione di matrici.
1.Quando si parla di ortonormalizzazione di matrici, ci si riferisce ad ortonormalizzare una base di una qualsivoglia applicazione che è stata espressa tramite la matrice in questione, giusto? Perchè da quello che so io l'ortonormalizzazione (con il procedimento di Gram-Schmidt per esempio) si applica ad una BASE per passare da una base qualunque ad una ortonormale, e non si applica ad una matrice... (a meno che appunto, non si ...
Ciao a tutti, dopo diverse settimane di studio di algebra sono incappato in questo esercizio e non ho la minima idea di quale sia il metodo risolutivo e non credo d iaver ben capito cosa il nocciolo dell'esercizio.
Sia r un numero reale arbitrario si supponga di avere un applicazione f:{r}->R^2
Per quali valori di r risulta possibile estendere la funzione F a una (o più) applicazione(i) lineare(i) su R?
Spulciando gli appunti di algebra 1, del semestre scorso, perché non mi ricordavo una definizione (che non è legata alla domanda), ho notato un appunto che aveva fatto la professoressa, che non ho più e dunque non posso chiederle, e non l'ho capito.
Disse:
Perché, data un applicazione lineare \( \varphi : V \rightarrow W \), dove \( V,W \) sono \( K \)-spazi vettoriali e la sua matrice \( (\varphi)_{B_V}^{B_W} \) relativa alle basi \( B_V \) e \(B_W \), e sia il vettore \( x \in V \), perché ...
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Studente Anonimo
9 mar 2019, 17:58
Ciao a tutti, non riesco a capire bene un passaggio del libro di algebra che sto utilizzando, nello specifico "algebra lineare per tutti" di Lorenzo Robbiano.
Lui dice: poniamo di avere la base canonica $ E=(e1, e2,..,en) $ , un vettore $ u=(a1,a2,...,an) $ e le coordinate del vettore rispetto a E: $ u=a1e1+a2e2+...+an en $ .
Supponiamo anche di avere una r-upla $ F=(f1,f2,...,fn) $ di vettori in $ K^2 $, possiamo scrivere le loro coordinate come
$ F=E \cdot M_F^E $ (fin qui tutto ok, ...
Sia \( V \subseteq \mathbb{R}_3[x] \) lo spazio vettoriale dei polinomi di grado al più 3 su \( \mathbb{R} \) con la forma bilineare:
\[ \left \langle p,q \right \rangle = \int_{-1}^{1} pq dx \]
Dimostrare che l''insieme \( \{ p_0,p_1,p_2,p_3 \} \) di polinomi
\( p_0 = 1 \)
\( p_1 = x \)
\( p_2 = \frac{1}{2}(3x^2-1) \)
\( p_3 = \frac{1}{2}(5x^3 - 3x) \)
è una base ortogonale di \( V \)
So come procedere, ovvero se \( \left \langle p_i,p_j \right \rangle =0 \) per tutti gli \( 0 \leq i \neq ...
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Studente Anonimo
9 mar 2019, 14:28
Non riesco a rispondere a questa semplice domanda di teoria, in quanto non capisco bene cosa fare:
Esiste un'applicazione lineare $T: RR^4 -> RR^3$ tale che $e_1+e_2+6e_3+e_4 \in "Ker"(T)$?
Grazie a chi risponderà.
Il testo dell'esercizio è questo:
Sia $B$ una matrice antisimmetrica, cioè $B^t=-B$ e $I$ la matrice identità.
Posto $A=(I+B)(I-B)^(-1)$, si dimostri che $A^(-1)=A^t$.
Applicando la regole di trasposizione e inversione per il prodotto di matrici riesco ad arrivare ad $ (A A^t)(A A^t)=I $.
Non riesco a terminare la dimostrazione. Qualche idea??
Dimostra che un tutti i poligoni pieni si possono decomporre in una riunione finita di simplessi tale che l'intersezione di due simplessi distinti è costituita da:
1. l'insieme vuoto,
2. o uno vertice comune,
3. o un lato (faccia) comune (stessa estremita).
Io ho pensato di farlo per induzione sul numero di vertici. Un poligono che possiede 3 vertici è un simplesso.
Supponiamo che sia vero per un poligono \(P_n\) a \( n \) vertici.
Sia un poligono \( P_{n+1} \), tracciamo una retta che passa ...
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Studente Anonimo
6 mar 2019, 17:35
Ciao.
Definiti gli aperti del piano \( \mathbb{R}^2 \) come le unioni di famiglie di rettangoli aperti (ossia, insiemi del tipo \( I\times J \), dove \( I \) e \( J \) sono intervalli aperti della retta), mi viene difficile provare che l'intersezione di due aperti è aperta.
Abbiamo che per due rettangoli aperti \( R_1 \) e \( R_2 \), l'intersezione è ancora un rettangolo aperto.
[ot]Avevo già postato una dimostrazione, sbagliata, che ora ho tolto.[/ot]
Ciao a tutti, è da circa due settimane che ho iniziato a studiare le applicazioni e più precisamente quelle lineari. Non ho troppe difficoltà con gli esercizi se non con quelli che richiedono di determinare un'applicazione partendo da dei dati.
Più precisamente gli esercizi che mi danno più problemi sono i 3 seguenti:
1.)Determinare $ f:R4[x] -> R3[x] $t.c:
$f((x-1)^4) = (x-1)^3 $ e $Imf = {P(x) t.c. P(1) = P'(1) = 0} $.
R4[x] e R3[x] spazi dei polinomi di grado rispettivamente al più 4 e 3 e P'(x) derivata prima del ...
Sia \( \varphi : K^n \rightarrow K^n \) un endomorfismo, e \( \varphi(x)=Ax \) con \( A \in K^{n \times n} \)
Dimostra che \( A \) è diagonalizzabile se e solo se esiste \( U \in K^{n \times n} \) inversibile tale che \( U^{-1}AU \) è diagonale.
Io ho pensato a questo ma mi sembra troppo poco, secondo voi va bene?
\( \Rightarrow \)
Se \( A \) è diagonalizzabile allora esiste una base \( \mathcal{B}=\{v_1, \ldots,v_n \} \) formata dagli autovettori \( v_i \) in cui la matrice è diagonale, è ...
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Studente Anonimo
5 mar 2019, 07:43
Ciao.
Tra i sottoinsiemi dei reali estesi \( \widetilde{\mathbb{R}}=\mathbb{R}\cup\{\pm\infty\} \) che seguono, identificare quelli aperti/chiusi, e gli intorni di \( -\infty \) e \( +\infty \), e confrontare il risultato con gli analoghi sottoinsiemi di \( \mathbb{R} \).
Premetto che, per me, un aperto della retta estesa è un insieme esprimibile come unione di "intervalli aperti" di \( \widetilde{\mathbb{R}} \), ossia di insiemi del tipo \( \emptyset \), \( ]a,b[ \), con \( a \) e \( b \) ...
Buongiorno,
ho qualche dubbio sulla seguente definizione
Un vettore $mathbf{u}$ dipende linearmente da un sottoinsieme $X$ di $V$ se $mathbf{u}$ si può esprimere come combinazione lineare di un numero finito di vettori di $X$
Cioè ci sta dicendo che, se considero un sistema di vettori $X'$ di $X$, il vattore $mathbf{u}$ risulta combinazione lineare dei vettori di $X'$ e non dei rimanenti ...
Buonasera,
sto provando a determinare le basi di diversi tipo di spazi vettoriali, in particolare il sottospazio $S$ di $mathbb{R}_4 [x]$,
$S = [x+x^2,x^2+x^3,x^3+x^4,2x+5x^2-3x^4]$.
Procedo nel seguente modo:
Classifico i seguenti polinomi
$p_1=x+x^2$
$p_2=x^2+x^3$
$p_3=x^3+x^4$
$p_4=2x+5x^2-3x^4$
Esprimo i precedenti polinomi, rispetto alla base naturale $B={1,x,x^2,x^3,x^4}$, per cui:
$p_1=(0,1,1,0,0)$
$p_3=(0,0,1,1,0)$
$p_3=(0,0,0,1,1)$
$p_4=(0,2,5,0,-3)$
per verificare se formano ...
Ciao! Sia \( E \) un sottoinsieme arbitrario (eventualmente infinito) limitato della semiretta \( \left]0,+\infty\right[ \). Preso \( \mathbb{R} \) con la topologia usuale (cfr. def. data qui se neccessario), voglio provare che
1) l'unione \( \bigcup_{x\in E}\left[0,x\right] \) è un intervallo di \( \mathbb{R} \), chiuso solo se \( E \) ha massimo;
2) se \( E \) ha un minorante strettamente positivo allora l'intersezione \( \bigcap_{x\in E}\left]0,x\right[ \) è un intervallo, ...
Ciao a tutti!
L'esercizio è il seguente:
Nel piano, rispetto ad un sistema di coordinate cartesiane ortogonali $Oxy$, determinare l'ortocentro di un triangolo avente i lati appartenenti alle rette $r_1:y-2x+1=0$, $r_2:-x+3y=0$, $r_3:3x+2y-1=0$.
Io ho (ovviamente) pensato di trovare due rette perpendicolari ad un lato e passante per il terzo punto che non appartiene al lato ed infine intersecarle per avere l'ortocentro... ma questo richiede molti ...
Salve a tutti.
Ho un dubbio riguardo l'accertamento della dipendenza/indipendenza lineare tra vettori utilizzando il rango della matrice che si ottiene ordinando i vettori per riga.
Supponiamo d avere i seguenti vettori definiti in R2:
X1 = (1,3); X2 = (2,5); X3 = (1,2); X4 = (3,5).
La matrice che ottengo ordinando per righe ha 4 righe e 2 colonne. Il rango di questa matrice è 2 ed è quindi rango massimo.
Così stando le cose, sembrerebbe che i 4 vettori siano tra loro linearmente ...
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