Esercizio TEORICO Applicazioni LINEARI
Non riesco a rispondere a questa semplice domanda di teoria, in quanto non capisco bene cosa fare:
Esiste un'applicazione lineare $T: RR^4 -> RR^3$ tale che $e_1+e_2+6e_3+e_4 \in "Ker"(T)$?
Grazie a chi risponderà.
Esiste un'applicazione lineare $T: RR^4 -> RR^3$ tale che $e_1+e_2+6e_3+e_4 \in "Ker"(T)$?
Grazie a chi risponderà.
Risposte
Ne esistono un'infinitàdi matrici associate a quella applicazione, tante quante sono le basi dello spazio delle righe.
Il vettore $e_1+e_2+6e_3+e_4=(1,1,6,1)=v$ appartiene al kernel quindi è ortogonale allo spazio delle righe.
La dimensione dello spazio di partenza è 4, segue che lo spazio delle righe ha dimensione 3.
E' l'iperpiano $pi: x+y+6z+w=0$ dato che è lo spazio vettoriale formato da tutti i vettori perpendicolari a v.
$ ( 1 \ \ 1 \ \ 6 \ \ 1 ) ( ( x ),( y ),( z ),( w ) )=0 $
Ora basta trovare una base per l'iperpiano, quindi tre vettori linearmente indipendenti che soddisfino il vincolo.
Ci sono 4 variabili, segue che una si può vincolare alle altre tre libere. Scegliamo quindi valori semplici per y, z e w.
Se $z=w=0$ e $y=-1$ allora $x=1$ e abbiamo il vettore $(1,-1,0,0)$
Se $y=w=0$ e $z=-1$ allora $x=6$ e abbiamo il vettore $(6,0,-1,0)$
Se $y=z=0$ e $w=-1$ allora $x=1$ e abbiamo il vettore $(1,0,0,-1)$
Concludendo, la matrice $ F=( ( 1 , -1 , 0 , 0 ),( 6 , 0 , -1 , 0 ),( 1 , 0 , 0 , -1 ) ) $ è una delle possibili matrici da associare all'applicazione il cui kernel è nello span di $ v=( 1 \ \ 1 \ \ 6 \ \ 1 ) $
Il vettore $e_1+e_2+6e_3+e_4=(1,1,6,1)=v$ appartiene al kernel quindi è ortogonale allo spazio delle righe.
La dimensione dello spazio di partenza è 4, segue che lo spazio delle righe ha dimensione 3.
E' l'iperpiano $pi: x+y+6z+w=0$ dato che è lo spazio vettoriale formato da tutti i vettori perpendicolari a v.
$ ( 1 \ \ 1 \ \ 6 \ \ 1 ) ( ( x ),( y ),( z ),( w ) )=0 $
Ora basta trovare una base per l'iperpiano, quindi tre vettori linearmente indipendenti che soddisfino il vincolo.
Ci sono 4 variabili, segue che una si può vincolare alle altre tre libere. Scegliamo quindi valori semplici per y, z e w.
Se $z=w=0$ e $y=-1$ allora $x=1$ e abbiamo il vettore $(1,-1,0,0)$
Se $y=w=0$ e $z=-1$ allora $x=6$ e abbiamo il vettore $(6,0,-1,0)$
Se $y=z=0$ e $w=-1$ allora $x=1$ e abbiamo il vettore $(1,0,0,-1)$
Concludendo, la matrice $ F=( ( 1 , -1 , 0 , 0 ),( 6 , 0 , -1 , 0 ),( 1 , 0 , 0 , -1 ) ) $ è una delle possibili matrici da associare all'applicazione il cui kernel è nello span di $ v=( 1 \ \ 1 \ \ 6 \ \ 1 ) $
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