Aperti e chiusi nei reali estesi
Ciao.
Tra i sottoinsiemi dei reali estesi \( \widetilde{\mathbb{R}}=\mathbb{R}\cup\{\pm\infty\} \) che seguono, identificare quelli aperti/chiusi, e gli intorni di \( -\infty \) e \( +\infty \), e confrontare il risultato con gli analoghi sottoinsiemi di \( \mathbb{R} \).
Premetto che, per me, un aperto della retta estesa è un insieme esprimibile come unione di "intervalli aperti" di \( \widetilde{\mathbb{R}} \), ossia di insiemi del tipo \( \emptyset \), \( ]a,b[ \), con \( a \) e \( b \) elementi di \( \mathbb{R}\cup\{\pm\infty\} \), e "semirette aperte" \( [-\infty,a[ \), \( ]a,+\infty] \), dove questa volta \( a \) è un numero reale.
Più che postare l'esercizio, che ora non riesco a cominciare, mi interessa capire se anche con questa topologia gli unici insiemi ad essere clopen sono l'insieme vuoto e lo spazio.
Se dovessi provare che, ad esempio, l'insieme \( [0,+\infty[ \) non è né aperto ne chiuso con la topologia di \( \mathbb{R} \), userei il fatto che nessun aperto ha massimo e minimo, e che tutti i chiusi hanno almeno uno dei due. in \( \widetilde{\mathbb{R}} \) vale ciò? E soprattutto, come lo provo senza usare questa proprietà (dato che mi sembra assurdo dover usare l'ordine dei reali per dire se un insieme è aperto o chiuso!)?
Se riesco a capire queste cose credo che entro domani sera riuscirò a postare l'esercizio fatto, per ora mi trovo in difficoltà a dire se \( [0,+\infty[ \) è chiuso/aperto/intorno di \( \pm\infty \).
Tra i sottoinsiemi dei reali estesi \( \widetilde{\mathbb{R}}=\mathbb{R}\cup\{\pm\infty\} \) che seguono, identificare quelli aperti/chiusi, e gli intorni di \( -\infty \) e \( +\infty \), e confrontare il risultato con gli analoghi sottoinsiemi di \( \mathbb{R} \).
Premetto che, per me, un aperto della retta estesa è un insieme esprimibile come unione di "intervalli aperti" di \( \widetilde{\mathbb{R}} \), ossia di insiemi del tipo \( \emptyset \), \( ]a,b[ \), con \( a \) e \( b \) elementi di \( \mathbb{R}\cup\{\pm\infty\} \), e "semirette aperte" \( [-\infty,a[ \), \( ]a,+\infty] \), dove questa volta \( a \) è un numero reale.
Più che postare l'esercizio, che ora non riesco a cominciare, mi interessa capire se anche con questa topologia gli unici insiemi ad essere clopen sono l'insieme vuoto e lo spazio.
Se dovessi provare che, ad esempio, l'insieme \( [0,+\infty[ \) non è né aperto ne chiuso con la topologia di \( \mathbb{R} \), userei il fatto che nessun aperto ha massimo e minimo, e che tutti i chiusi hanno almeno uno dei due. in \( \widetilde{\mathbb{R}} \) vale ciò? E soprattutto, come lo provo senza usare questa proprietà (dato che mi sembra assurdo dover usare l'ordine dei reali per dire se un insieme è aperto o chiuso!)?
Se riesco a capire queste cose credo che entro domani sera riuscirò a postare l'esercizio fatto, per ora mi trovo in difficoltà a dire se \( [0,+\infty[ \) è chiuso/aperto/intorno di \( \pm\infty \).
Risposte
Supponi che \(A\) sia aperto e chiuso allo stesso tempo. Allora \(\widetilde{\mathbb{R}}\) è unione di due aperti disgiunti: \(A\) e \(\widetilde{\mathbb{R}} - A\). Cosa mi sai dire sull'intersezione di questi due insiemi su \(\mathbb{R}\)? Nota che hai costruito la topologia su \(\widetilde{\mathbb{R}}\) in modo tale da avere \(\mathbb{R}\), con la topologia standard, come sottospazio topologico.
Provo a dimostrare che la topologia standard della retta è la topologia di sottospazio.
Dimostrazione. Di fatto è vero che preso un aperto \( U \) di \( \mathbb{R} \) nella topologia usuale, questo dovrebbe essere dato dall'intersezione di \( \mathbb{R} \) con un aperto \( V \) della retta estesa con la nuova topologia: se \( A \) è aperto infatti, è \( U=\bigcup_{\lambda\in\mathcal{I}}U_\lambda \) per una famiglia \( \mathcal{I} \) di intervalli aperti[nota]Definisco la topologia su \( \mathbb{R} \) ancora come quella generata dalla base degli \( ]a,b[ \), con \( a \) e \( b \) reali o uguali a \( \pm\infty \), e \( \emptyset \).[/nota], che è contenuta in \( \widetilde{\mathbb{R}} \), ed ivi è ancora una famiglia di aperti, giacché l'unica differenza tra la base di intervalli aperti di \( \mathbb{R} \) e quella del suo amico esteso è che nella seconda si includono gli insiemi del tipo \( [-\infty,a[ \) e \( ]a,+\infty] \), per \( a \) reale. È quindi \( \tau\subset\tau_{\mathbb{R}} \), dove con \( \tau_{\mathbb{R}} \) indico la topologia di sottospazio dei reali estesi. Devo provare l'inclusione inversa, ossia che ogni insieme della forma \( \mathbb{R}\cap U \) è un aperto di \( \tau \). È così, perché se \( U=\bigcup_{\lambda\in\mathcal{I}'}U_\lambda \) per una famiglia \( \mathcal{I}' \) di intervalli aperti della topologia dei reali estesi, è
\[
\mathbb{R}\cap U = \mathbb{R}\cap\left(\bigcup_{\lambda\in\mathcal{I}'}U_\lambda\right) = \bigcup_{\lambda\in\mathcal{I}'}\left(\mathbb{R}\cap U_\lambda\right)
\]
ossia un'unione di intervalli aperti della retta, in quanto l'intersezione di ogni \( U\in\mathcal{I}' \) è un intervallo aperto di \( \mathbb{R} \) (perché \( \widetilde{\mathbb{R}}:=\mathbb{R}\cup\{\pm\infty\} \)). \( \square \)
Sia allora \( A\) sottoinsieme proprio (non vuoto) di \( \widetilde{\mathbb{R}} \), sia chiuso che aperto. Come mi hai fatto notare, lo spazio è dato quindi dall'unione di due aperti \( A \) e \( A^\complement \): l'intersezione di \( A \) con la retta è un aperto \( A' \), e anche l'intersezione di \( A^\complement \) è un aperto \( A'' \). Questo significa, poiché \( A^\complement\cap\mathbb{R}=\mathbb{R}\setminus A' \), che \( A' \) è sia chiuso che aperto sulla topologia dei reali.
Gli unici insiemi della retta estesa ad essere sia aperti che chiusi sono quindi l'insieme vuoto e lo spazio stesso credo. \( \square \)
Poi posterò, finalmente, l'esercizio. Nel frattempo ti ringrazio molto per gli hint.
Ovviamente qui su ci sarà qualche errore/soluzione più veloce: mi piacerebbe che mi venisse segnalato/a.
EDIT: corretto errore in una formula della prima dimostrazione.
Dimostrazione. Di fatto è vero che preso un aperto \( U \) di \( \mathbb{R} \) nella topologia usuale, questo dovrebbe essere dato dall'intersezione di \( \mathbb{R} \) con un aperto \( V \) della retta estesa con la nuova topologia: se \( A \) è aperto infatti, è \( U=\bigcup_{\lambda\in\mathcal{I}}U_\lambda \) per una famiglia \( \mathcal{I} \) di intervalli aperti[nota]Definisco la topologia su \( \mathbb{R} \) ancora come quella generata dalla base degli \( ]a,b[ \), con \( a \) e \( b \) reali o uguali a \( \pm\infty \), e \( \emptyset \).[/nota], che è contenuta in \( \widetilde{\mathbb{R}} \), ed ivi è ancora una famiglia di aperti, giacché l'unica differenza tra la base di intervalli aperti di \( \mathbb{R} \) e quella del suo amico esteso è che nella seconda si includono gli insiemi del tipo \( [-\infty,a[ \) e \( ]a,+\infty] \), per \( a \) reale. È quindi \( \tau\subset\tau_{\mathbb{R}} \), dove con \( \tau_{\mathbb{R}} \) indico la topologia di sottospazio dei reali estesi. Devo provare l'inclusione inversa, ossia che ogni insieme della forma \( \mathbb{R}\cap U \) è un aperto di \( \tau \). È così, perché se \( U=\bigcup_{\lambda\in\mathcal{I}'}U_\lambda \) per una famiglia \( \mathcal{I}' \) di intervalli aperti della topologia dei reali estesi, è
\[
\mathbb{R}\cap U = \mathbb{R}\cap\left(\bigcup_{\lambda\in\mathcal{I}'}U_\lambda\right) = \bigcup_{\lambda\in\mathcal{I}'}\left(\mathbb{R}\cap U_\lambda\right)
\]
ossia un'unione di intervalli aperti della retta, in quanto l'intersezione di ogni \( U\in\mathcal{I}' \) è un intervallo aperto di \( \mathbb{R} \) (perché \( \widetilde{\mathbb{R}}:=\mathbb{R}\cup\{\pm\infty\} \)). \( \square \)
Sia allora \( A\) sottoinsieme proprio (non vuoto) di \( \widetilde{\mathbb{R}} \), sia chiuso che aperto. Come mi hai fatto notare, lo spazio è dato quindi dall'unione di due aperti \( A \) e \( A^\complement \): l'intersezione di \( A \) con la retta è un aperto \( A' \), e anche l'intersezione di \( A^\complement \) è un aperto \( A'' \). Questo significa, poiché \( A^\complement\cap\mathbb{R}=\mathbb{R}\setminus A' \), che \( A' \) è sia chiuso che aperto sulla topologia dei reali.
Gli unici insiemi della retta estesa ad essere sia aperti che chiusi sono quindi l'insieme vuoto e lo spazio stesso credo. \( \square \)
Poi posterò, finalmente, l'esercizio. Nel frattempo ti ringrazio molto per gli hint.
Ovviamente qui su ci sarà qualche errore/soluzione più veloce: mi piacerebbe che mi venisse segnalato/a.
EDIT: corretto errore in una formula della prima dimostrazione.
Per ora hai solo dimostrato che \(A\cap \mathbb{R} = \emptyset\) oppure \(A\cap \mathbb{R} = \mathbb{R}\). Quindi, escludendo i casi banali, \(A\) può essere uno di questi insiemi \(\{+\infty\}\), \(\{+\infty\}\), \(\{+\infty, -\infty\}\), \(\{+\infty\}\cup \mathbb{R}\), \(\{-\infty\}\cup \mathbb{R}\). A questo punto si tratta di controllare se questi insiemi sono aperti e chiusi allo stesso tempo.
"vict85":Nella seconda parte ho fatto vedere che, se \( \emptyset\neq A \) fosse un sottoinsieme proprio contemporaneamente chiuso e aperto dei reali estesi, allora sia \( \mathbb{R}\cap A \) che \( \mathbb{R}\cap A^{\complement}=\mathbb{R}\setminus\left(\mathbb{R}\cap A\right) \) sarebbero aperti in \( \mathbb{R} \), che è assurdo.
Per ora hai solo dimostrato che \(A\cap \mathbb{R} = \emptyset\) oppure \(A\cap \mathbb{R} = \mathbb{R}\). Quindi, escludendo i casi banali, \(A\) può essere uno di questi insiemi \(\{+\infty\}\), \(\{+\infty\}\), \(\{+\infty, -\infty\}\), \(\{+\infty\}\cup \mathbb{R}\), \(\{-\infty\}\cup \mathbb{R}\). A questo punto si tratta di controllare se questi insiemi sono aperti e chiusi allo stesso tempo.
Ossia ho provato che nessun sottoinsieme proprio \( A \) è contemporaneamente aperto e chiuso. Ora mi rimane da provare che sia lo spazio che l'insieme vuoto sono aperti e chiusi contemporaneamente: \( \widetilde{\mathbb{R}}\setminus\emptyset \) è lo spazio stesso, quindi aperto, e \( \widetilde{\mathbb{R}}\setminus\widetilde{\mathbb{R}} \) è l'insieme vuoto.
Dove ho dimostrato quello che hai detto tu?
Siccome \(\mathbb{R}\) è un sottospazio connesso e \(A\) è sia aperto che chiuso, allora \(A\cap \mathbb{R}=\emptyset\) oppure \(A\cap \mathbb{R}=\mathbb{R}\). Ma non hai dimostrato ancora che \(A\) è o vuoto o coincide con tutto \(\widetilde{\mathbb{R}}\).
Sì, al secondo tentativo ho capito cosa mi stavi dicendo (ti chiedo scusa).
Dato che ho provato che \( \mathbb{R} \) ha la topologia di sottospazio, posso dire che \( U \) è aperto (chiuso) nei reali estesi se e solo se \( \mathbb{R}\cap U \) è aperto (chiuso) in \( \mathbb{R} \). Allora tutti quegli insiemi sono aperti e chiusi perché la loro intersezione con la retta è l'insieme vuoto o la retta stessa.
Quindi \( \widetilde{\mathbb{R}} \) è disconnesso.
"marco2132k":Di fatto non è assurdo e
Nella seconda parte ho fatto vedere che, se \( \emptyset\neq A \) fosse un sottoinsieme proprio contemporaneamente chiuso e aperto dei reali estesi, allora sia \( \mathbb{R}\cap A \) che \( \mathbb{R}\cap A^{\complement}=\mathbb{R}\setminus\left(\mathbb{R}\cap A\right) \) sarebbero aperti in \( \mathbb{R} \), che è assurdo.
"vict85":
[...] \( A\cap \mathbb{R} = \emptyset \) oppure \( A\cap \mathbb{R} = \mathbb{R} \). Quindi, escludendo i casi banali, \( A \) può essere uno di questi insiemi \( \{+\infty\} \), \( \{+\infty\} \), \( \{+\infty, -\infty\} \), \( \{+\infty\}\cup \mathbb{R} \), \( \{-\infty\}\cup \mathbb{R} \). A questo punto si tratta di controllare se questi insiemi sono aperti e chiusi allo stesso tempo.
Dato che ho provato che \( \mathbb{R} \) ha la topologia di sottospazio, posso dire che \( U \) è aperto (chiuso) nei reali estesi se e solo se \( \mathbb{R}\cap U \) è aperto (chiuso) in \( \mathbb{R} \). Allora tutti quegli insiemi sono aperti e chiusi perché la loro intersezione con la retta è l'insieme vuoto o la retta stessa.
Quindi \( \widetilde{\mathbb{R}} \) è disconnesso.
Quello che dici non è corretto. Se \(S\) è un sottospazio e \(A\) è aperto allora \(A\cap S\) è aperto, d'altra parte non è vero che se \(A\cap S\) è aperto allora lo è anche \(A\). Per esempio, \(]0,2[\) è un sottospazio aperto di \(\mathbb{R}\) ma \(]1,2]\) non lo è anche se \(]1,2]\cap ]0,2[ = ]1,2[\) lo è.
Hai ragione, ho scritto una cavolata grossa.
Quello che mi mancava era forse una caratterizzazione tipo quella che segue:
tutti gli aperti di \( \widetilde{\mathbb{R}} \) sono dati o da un aperto di \( \mathbb{R} \), o tali che la loro intersezione con \( \mathbb{R} \) sia aperta nella topologia del sottospazio, e nel caso contengano \( -\infty \) o \( +\infty \), allora contengono anche un intervallo del tipo \( [-\infty,a[ \) o \( ]a,+\infty] \) per qualche \( a \) reale, rispettivamente.
Dimostrazione. Sia \( A \) aperto. Allora nel caso \( A \) contenga \( -\infty \), dato che \( A=\bigcup_{I\in\mathcal{I}'}I \) per una famiglia \( \mathcal{I}' \) di intervalli aperti (della base di \( \widetilde{\mathbb{R}} \)), deve essere \( -\infty\in I \) per qualche intervallo aperto \( I \): gli unici insiemi della base a contenere \( -\infty \) sono gli intervalli della forma \( [-\infty,a[ \). Ora, sia \( A\cap\mathbb{R} \) aperto in \( \mathbb{R} \), e tale che se \( -\infty\in A \), allora \( [-\infty,a[\subset A \) per qualche \( a\in\mathbb{R} \). L'insieme \( A\cap\mathbb{R} \) è unione di intervalli aperti di \( \mathbb{R} \), e quindi di intervalli aperti di \( \widetilde{\mathbb{R}} \); inoltre, se \( -\infty \) appartiene ad \( A \), è \( A=\left(\bigcup_{I\in\mathcal{I}}I\right)\cup [-\infty,a[\} \) per una famiglia \( \mathcal{I} \) di aperti (della base di \( \mathbb{R} \)) e per un \( a\in\mathbb{R} \). \( \square \)
Spero che la dimostrazione sia giusta.
Ci riprovo:
1) ogni singolo di \( \widetilde{\mathbb{R}} \) è chiuso per ovvi motivi;
2) allora \( \{-\infty\} \), \( \{+\infty\} \) e \( \{-\infty\}\cup\{+\infty\} \) sono chiusi;
3) è \( \mathbb{R}\cup\{-\infty\}=\bigcup_{a\in\mathbb{R}}\left[-\infty,a\right[ \) e \( \mathbb{R}\cup\{+\infty\}=\bigcup_{a\in\mathbb{R}}\left]a,+\infty\right] \), che quindi sono aperti.
Assumiamo allora che \( \{+\infty\} \) sia aperto. Allora è o un aperto di \( \mathbb{R} \), o del secondo tipo descritto prima, cioè tale che \( \{+\infty\}\cap\mathbb{R} \) è aperto e contiene \( +\infty \): allora dovrebbe anche contenere un intervallo \( ]a,+\infty] \) per qualche \( a \) reale, cosa assurda. Analoghe per gli altri di 2).
La proposizione in apertura ci da indicazioni sui chiusi di \( \widetilde{\mathbb{R}} \), dato che un insieme è chiuso se il suo complemento è aperto.
Ammettere che \( \mathbb{R}\cup\{+\infty\} \) è chiuso significa dire che \( \{-\infty\} \) è aperto, cosa assurda.
(I reali estesi mi hanno già fatto venire mal di testa in precedenza a dir la verità)
EDIT: corretto errore tipografico nella dimostrazione.
Quello che mi mancava era forse una caratterizzazione tipo quella che segue:
tutti gli aperti di \( \widetilde{\mathbb{R}} \) sono dati o da un aperto di \( \mathbb{R} \), o tali che la loro intersezione con \( \mathbb{R} \) sia aperta nella topologia del sottospazio, e nel caso contengano \( -\infty \) o \( +\infty \), allora contengono anche un intervallo del tipo \( [-\infty,a[ \) o \( ]a,+\infty] \) per qualche \( a \) reale, rispettivamente.
Dimostrazione. Sia \( A \) aperto. Allora nel caso \( A \) contenga \( -\infty \), dato che \( A=\bigcup_{I\in\mathcal{I}'}I \) per una famiglia \( \mathcal{I}' \) di intervalli aperti (della base di \( \widetilde{\mathbb{R}} \)), deve essere \( -\infty\in I \) per qualche intervallo aperto \( I \): gli unici insiemi della base a contenere \( -\infty \) sono gli intervalli della forma \( [-\infty,a[ \). Ora, sia \( A\cap\mathbb{R} \) aperto in \( \mathbb{R} \), e tale che se \( -\infty\in A \), allora \( [-\infty,a[\subset A \) per qualche \( a\in\mathbb{R} \). L'insieme \( A\cap\mathbb{R} \) è unione di intervalli aperti di \( \mathbb{R} \), e quindi di intervalli aperti di \( \widetilde{\mathbb{R}} \); inoltre, se \( -\infty \) appartiene ad \( A \), è \( A=\left(\bigcup_{I\in\mathcal{I}}I\right)\cup [-\infty,a[\} \) per una famiglia \( \mathcal{I} \) di aperti (della base di \( \mathbb{R} \)) e per un \( a\in\mathbb{R} \). \( \square \)
Spero che la dimostrazione sia giusta.
Ci riprovo:
1) ogni singolo di \( \widetilde{\mathbb{R}} \) è chiuso per ovvi motivi;
2) allora \( \{-\infty\} \), \( \{+\infty\} \) e \( \{-\infty\}\cup\{+\infty\} \) sono chiusi;
3) è \( \mathbb{R}\cup\{-\infty\}=\bigcup_{a\in\mathbb{R}}\left[-\infty,a\right[ \) e \( \mathbb{R}\cup\{+\infty\}=\bigcup_{a\in\mathbb{R}}\left]a,+\infty\right] \), che quindi sono aperti.
Assumiamo allora che \( \{+\infty\} \) sia aperto. Allora è o un aperto di \( \mathbb{R} \), o del secondo tipo descritto prima, cioè tale che \( \{+\infty\}\cap\mathbb{R} \) è aperto e contiene \( +\infty \): allora dovrebbe anche contenere un intervallo \( ]a,+\infty] \) per qualche \( a \) reale, cosa assurda. Analoghe per gli altri di 2).
La proposizione in apertura ci da indicazioni sui chiusi di \( \widetilde{\mathbb{R}} \), dato che un insieme è chiuso se il suo complemento è aperto.
Ammettere che \( \mathbb{R}\cup\{+\infty\} \) è chiuso significa dire che \( \{-\infty\} \) è aperto, cosa assurda.
(I reali estesi mi hanno già fatto venire mal di testa in precedenza a dir la verità)
EDIT: corretto errore tipografico nella dimostrazione.
Mi sembra tutto corretto anche se potevi dire le cose in maniera più sintetica. Infatti, gli insiemi del tipo \(\displaystyle \{a,b\in \mathbb{R} : \left]a, b\right[\} \) generano la topologia standard su \(\mathbb{R}\) e non contengono \(\pm\infty\). Pertanto, ogni aperto di \(\mathbb{R}\) è banalmente aperto di \(\widetilde{\mathbb{R}}\). L'unione arbitraria di insiemi del tipo \(\displaystyle \{a\in \mathbb{R} : \left[-\infty, a\right[\} \) è ancora un insieme dello stesso tipo, e similmente per gli insiemi del tipo \(\displaystyle \{a,b\in \mathbb{R} : \left]a, \infty\right]\} \). Pertanto ogni aperto \(A\) di \(\widetilde{\mathbb{R}}\) si può scrivere in una delle seguenti 4 forme:
[list=1][*:hmy36f4f] \(A = B\) per qualche insieme \(\displaystyle B \) aperto in \(\mathbb{R}\);[/*:m:hmy36f4f]
[*:hmy36f4f] \(A = \left[-\infty, a\right[ \cup B\) per qualche \(\displaystyle a\in \mathbb{R} \) e insieme \(\displaystyle B \) aperto di \(\mathbb{R}\);[/*:m:hmy36f4f]
[*:hmy36f4f] \(A = \left]a, \infty\right] \cup B\) per qualche \(\displaystyle a\in \mathbb{R} \) e insieme \(\displaystyle B \) aperto di \(\mathbb{R}\);[/*:m:hmy36f4f]
[*:hmy36f4f] \(A = \left[-\infty, a\right[ \cup B \cup \left]b, \infty\right] \) per qualche \(\displaystyle a,b\in \mathbb{R} \) e insieme \(\displaystyle B \) aperto di \(\mathbb{R}\).[/*:m:hmy36f4f][/list:o:hmy36f4f]
Quindi è evidente che \(\mathbb{R}\cup \{ -\infty \} = \left[-\infty, 0\right[ \cup \mathbb{R}\) è un aperto di \(\widetilde{\mathbb{R}}\). Il fatto che \(\{\infty\}\) è chiuso è una conseguenza del fatto che \(\mathbb{R}\cup \{ -\infty \} = \{\infty\}^{\complement}\) è aperto. I singoletti di \(\mathbb{R}\) li ignorerei.
[list=1][*:hmy36f4f] \(A = B\) per qualche insieme \(\displaystyle B \) aperto in \(\mathbb{R}\);[/*:m:hmy36f4f]
[*:hmy36f4f] \(A = \left[-\infty, a\right[ \cup B\) per qualche \(\displaystyle a\in \mathbb{R} \) e insieme \(\displaystyle B \) aperto di \(\mathbb{R}\);[/*:m:hmy36f4f]
[*:hmy36f4f] \(A = \left]a, \infty\right] \cup B\) per qualche \(\displaystyle a\in \mathbb{R} \) e insieme \(\displaystyle B \) aperto di \(\mathbb{R}\);[/*:m:hmy36f4f]
[*:hmy36f4f] \(A = \left[-\infty, a\right[ \cup B \cup \left]b, \infty\right] \) per qualche \(\displaystyle a,b\in \mathbb{R} \) e insieme \(\displaystyle B \) aperto di \(\mathbb{R}\).[/*:m:hmy36f4f][/list:o:hmy36f4f]
Quindi è evidente che \(\mathbb{R}\cup \{ -\infty \} = \left[-\infty, 0\right[ \cup \mathbb{R}\) è un aperto di \(\widetilde{\mathbb{R}}\). Il fatto che \(\{\infty\}\) è chiuso è una conseguenza del fatto che \(\mathbb{R}\cup \{ -\infty \} = \{\infty\}^{\complement}\) è aperto. I singoletti di \(\mathbb{R}\) li ignorerei.
Per completezza, posto l'esercizio, che ora posso fare.
1) \( E_1=[a,+\infty[ \)
È un sottoinsieme di \( \mathbb{R} \) che ivi non è né aperto né chiuso: allora non è né aperto né chiuso nei reali estesi. Non è nemmeno intorno di \( +\infty \).
2) \( E_2=[a,+\infty] \)
È chiuso, perché \( [-\infty,a[ \) è aperto. Inoltre contiene \( ]a,+\infty] \), ed è quindi intorno di \(+\infty\).
3) \( E_3=\mathbb{Q}\cup\{\pm\infty\}\)
Sappiamo che \( \mathbb{Q} \) non può essere né chiuso né aperto in \( \mathbb{R} \), perché è ivi denso, quindi non lo è nemmeno nella nuova topologia. Per lo stesso motivo non è intorno di \( +\infty \).
4) \( E_4=\mathbb{Z}\cup\{\pm\infty\} \)
Al contrario, è \( \mathbb{Z}^\complement=\bigcup_{n\in\mathbb{N}}\left]n,n+1\right[ \), quindi \( \mathbb{Z} \) è chiuso. Allora è chiuso anche \( E_4 \) perché unione finita di chiusi. Non è intorno di \( +\infty \) o \( -\infty \).
6) \( E_6=[-\infty,-1[\cup[3,+\infty] \)
Il suo complementare è un sottoinsieme di \( \mathbb{R} \) né aperto né chiuso. Quindi altrettanto per \( E_6 \) nella topologia degli estesi. Però è intorno di \( -\infty \) e \( +\infty \).
7) \(E_7=\mathbb{R}\setminus\{0\}\cup\{+\infty\} \)
L'insieme è \( ]-\infty,0[\cup]0,+\infty] \), quindi aperto e intorno di \( +\infty \).
Ti faccio quella che spero sia l'ultima domanda: per decidere quando un insieme sia aperto/chiuso in \( \widetilde{\mathbb{R}} \), occorre necessariamente utilizzare la topologia di \( \mathbb{R} \), studiando l'intersezione? Il fatto che siano sottospazi certamente aiuta in questo, ma non mi sembra un modo così "naturale", non so se riesco a spiegarmi.
Intanto ti ringrazio di nuovo per la pazienza.
1) \( E_1=[a,+\infty[ \)
È un sottoinsieme di \( \mathbb{R} \) che ivi non è né aperto né chiuso: allora non è né aperto né chiuso nei reali estesi. Non è nemmeno intorno di \( +\infty \).
2) \( E_2=[a,+\infty] \)
È chiuso, perché \( [-\infty,a[ \) è aperto. Inoltre contiene \( ]a,+\infty] \), ed è quindi intorno di \(+\infty\).
3) \( E_3=\mathbb{Q}\cup\{\pm\infty\}\)
Sappiamo che \( \mathbb{Q} \) non può essere né chiuso né aperto in \( \mathbb{R} \), perché è ivi denso, quindi non lo è nemmeno nella nuova topologia. Per lo stesso motivo non è intorno di \( +\infty \).
4) \( E_4=\mathbb{Z}\cup\{\pm\infty\} \)
Al contrario, è \( \mathbb{Z}^\complement=\bigcup_{n\in\mathbb{N}}\left]n,n+1\right[ \), quindi \( \mathbb{Z} \) è chiuso. Allora è chiuso anche \( E_4 \) perché unione finita di chiusi. Non è intorno di \( +\infty \) o \( -\infty \).
6) \( E_6=[-\infty,-1[\cup[3,+\infty] \)
Il suo complementare è un sottoinsieme di \( \mathbb{R} \) né aperto né chiuso. Quindi altrettanto per \( E_6 \) nella topologia degli estesi. Però è intorno di \( -\infty \) e \( +\infty \).
7) \(E_7=\mathbb{R}\setminus\{0\}\cup\{+\infty\} \)
L'insieme è \( ]-\infty,0[\cup]0,+\infty] \), quindi aperto e intorno di \( +\infty \).
Ti faccio quella che spero sia l'ultima domanda: per decidere quando un insieme sia aperto/chiuso in \( \widetilde{\mathbb{R}} \), occorre necessariamente utilizzare la topologia di \( \mathbb{R} \), studiando l'intersezione? Il fatto che siano sottospazi certamente aiuta in questo, ma non mi sembra un modo così "naturale", non so se riesco a spiegarmi.
Intanto ti ringrazio di nuovo per la pazienza.
Riguardo a \(E_1\), il punto è che non è aperto perché non è un aperto di \(\mathbb{R}\) e non è chiuso perché il suo complementare non è un intorno di \(\{+\infty\}\) (nota che \(E_1\) è chiuso in \(\mathbb{R}\)). Il fatto importante qui è che \(\mathbb{R}\) è un sottospazio aperto e quindi un suo sottoinsieme aperto è anche aperto nello spazio che lo contiene.
Riguardo a \(E_4\), non era necessario intersecarlo con \(\mathbb{R}\) (intersezione che ti sei dimenticato di scrivere tra l'altro). Infatti quell'insieme che hai scritto è esattamente \(E_4^{\complement}\).
Non è necessario usare \(\mathbb{R}\), lo avevo consigliato all'inizio perché aiuta a comprendere la topologia dei reali estesi.
Riguardo a \(E_4\), non era necessario intersecarlo con \(\mathbb{R}\) (intersezione che ti sei dimenticato di scrivere tra l'altro). Infatti quell'insieme che hai scritto è esattamente \(E_4^{\complement}\).
Non è necessario usare \(\mathbb{R}\), lo avevo consigliato all'inizio perché aiuta a comprendere la topologia dei reali estesi.
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