Esercizi sulle Applicazioni lineari
Ciao a tutti, è da circa due settimane che ho iniziato a studiare le applicazioni e più precisamente quelle lineari. Non ho troppe difficoltà con gli esercizi se non con quelli che richiedono di determinare un'applicazione partendo da dei dati.
Più precisamente gli esercizi che mi danno più problemi sono i 3 seguenti:
1.)Determinare $ f:R4[x] -> R3[x] $t.c:
$f((x-1)^4) = (x-1)^3 $ e $Imf = {P(x) t.c. P(1) = P'(1) = 0} $.
R4[x] e R3[x] spazi dei polinomi di grado rispettivamente al più 4 e 3 e P'(x) derivata prima del polinomio.
2.)Sia V sottospazio di R^4 generato da (1,0,0,1) e (0,1,2,2).
Determinare una trasformazione lineare di R^4 t.c Ker(f) = Im(f) = V.
3.)Dire per quele "a" in R esiste $ f:R^2 -> R^3 $ t.c. f(1,1) = (3,1,1) , f(0,1) = (0,1,1) e f(2,a) = L{(1,-1,0),(2,1,-1)}(spazio generato da..).
IDEE:
Diciamo che non ho un algoritmo preciso ma vado per tentativi(ed è per questo che scrivo il post).
Per il primo esercizio mi verrebbe da dire f(P(x)) -> x^3-2x^2+3x-1 ma non credo sia corretto.
Nel secondo dato che una base per il dominio è composta dai vettori (1,0,0,1) e (0,1,2,2) so che ogni vettore lo posso scrivere come combinazione lineare dei due e dato che im(f) = V ho che f(e1) = (1,0,0,1) e f(e2) = (0,1,2,2) ma non riesco a concludere per via del Ker che deve essere uguale a Im.
Per il terzo non ho proprio idee.
Più precisamente gli esercizi che mi danno più problemi sono i 3 seguenti:
1.)Determinare $ f:R4[x] -> R3[x] $t.c:
$f((x-1)^4) = (x-1)^3 $ e $Imf = {P(x) t.c. P(1) = P'(1) = 0} $.
R4[x] e R3[x] spazi dei polinomi di grado rispettivamente al più 4 e 3 e P'(x) derivata prima del polinomio.
2.)Sia V sottospazio di R^4 generato da (1,0,0,1) e (0,1,2,2).
Determinare una trasformazione lineare di R^4 t.c Ker(f) = Im(f) = V.
3.)Dire per quele "a" in R esiste $ f:R^2 -> R^3 $ t.c. f(1,1) = (3,1,1) , f(0,1) = (0,1,1) e f(2,a) = L{(1,-1,0),(2,1,-1)}(spazio generato da..).
IDEE:
Diciamo che non ho un algoritmo preciso ma vado per tentativi(ed è per questo che scrivo il post).
Per il primo esercizio mi verrebbe da dire f(P(x)) -> x^3-2x^2+3x-1 ma non credo sia corretto.
Nel secondo dato che una base per il dominio è composta dai vettori (1,0,0,1) e (0,1,2,2) so che ogni vettore lo posso scrivere come combinazione lineare dei due e dato che im(f) = V ho che f(e1) = (1,0,0,1) e f(e2) = (0,1,2,2) ma non riesco a concludere per via del Ker che deve essere uguale a Im.
Per il terzo non ho proprio idee.
Risposte
1. Osserva che $"dim"RR^4[x] = 5$ e $"dim"RR^3[x] = 4$, quindi la matrice associata ad $f$ rispetto ad una qualsiasi coppia di basi ha $5*4=20$ elementi. Le condizioni $f((x-1)^4)=(x-1)^3$, $p(1)=0$ e $p'(1)=0$ ti consigliano di scegliere come basi nel dominio e nel codominio quelle formate dalle prime potenze utili del binomio $x-1$.
Comincia a lavorare su questo spunto e vediamo dove si arriva.
2. Scegli una base di $V$ e completala a base di $RR^4$; dopodiché, manda i vettori della base di $V$ in $mathbf(0)$ e gli altri in se stessi.
3. Per ogni $a$, $f(2,a)$ e un vettore ed $L$ è un sottospazio non nullo... Quindi o il testo riportato non è corretto oppure la risposta è ovvia.
Comincia a lavorare su questo spunto e vediamo dove si arriva.
2. Scegli una base di $V$ e completala a base di $RR^4$; dopodiché, manda i vettori della base di $V$ in $mathbf(0)$ e gli altri in se stessi.
3. Per ogni $a$, $f(2,a)$ e un vettore ed $L$ è un sottospazio non nullo... Quindi o il testo riportato non è corretto oppure la risposta è ovvia.
Grazie per l'aiuto. Allora:
1. Posso considerare l'somorfismo $ R4[x] = R^5 $ e $ R3[x] = R^4 $ quindi $ a+bx+cx^2+dx^3+ex^4 $ --> $ (a,b,c,d,e) $
stessa cosa per R3[x].
$(x-1)^4 = x^4 - 4x^3 + 6x^2 -4x + 1 $ e quindi se $ f:V --> W $ una base per V è(considerando l'isomorfismo) $ {(1,-4,6,-4,1)} $
e quindi $ V=<(1,-4,6,-4,1)> $.
$(x-1)^3 = x^3 -3x^2+3x-1 $ e quindi, sempre considerando l'isomorfismo ho che una base per W è {(-1,3,-3,1)} e quindi $ W=<(-1,3,-3,1)>$.
Ora quindi posso dire,sempre considerando l'isomorfismo, che un generico vettore v=(a,b,c,d,e) si può scrivere come combinazione lineare del vettore che forma la base di V ovvero:
(a,b,c,d,e) = k(1,-4,6,-4,1) con k in $R$. Allora,per la linearità di $f$, $ f(a,b,c,d,e) = kf(1,-4,6,-4,1) $ e quindi ho che:
$f(a,b,c,d,e) = k(-1,3,-3,1)$ posso porre k = 1 e passando dall'isomorfismo alla situazione originale ho che:
$f(p(x)) = -1+3x-3x^2+x^3$
Può andare??
2. Una base di $ R^4 $ è {(1,0,0,1),(0,1,2,2),(0,0,0,1),(0,0,1,0)} e quindi f(x,y,z,t)=xf(1,0,0,1)+yf(0,1,2,2)+zf(0,0,0,1)+tf(0,0,1,0) ora mi blocco poichè stando ai dati f(1,0,0,1) = f(0,1,2,2)=(0,0,0,0) ma gli altri due?
3.Penso anch'io sia una domanda ambigua.
1. Posso considerare l'somorfismo $ R4[x] = R^5 $ e $ R3[x] = R^4 $ quindi $ a+bx+cx^2+dx^3+ex^4 $ --> $ (a,b,c,d,e) $
stessa cosa per R3[x].
$(x-1)^4 = x^4 - 4x^3 + 6x^2 -4x + 1 $ e quindi se $ f:V --> W $ una base per V è(considerando l'isomorfismo) $ {(1,-4,6,-4,1)} $
e quindi $ V=<(1,-4,6,-4,1)> $.
$(x-1)^3 = x^3 -3x^2+3x-1 $ e quindi, sempre considerando l'isomorfismo ho che una base per W è {(-1,3,-3,1)} e quindi $ W=<(-1,3,-3,1)>$.
Ora quindi posso dire,sempre considerando l'isomorfismo, che un generico vettore v=(a,b,c,d,e) si può scrivere come combinazione lineare del vettore che forma la base di V ovvero:
(a,b,c,d,e) = k(1,-4,6,-4,1) con k in $R$. Allora,per la linearità di $f$, $ f(a,b,c,d,e) = kf(1,-4,6,-4,1) $ e quindi ho che:
$f(a,b,c,d,e) = k(-1,3,-3,1)$ posso porre k = 1 e passando dall'isomorfismo alla situazione originale ho che:
$f(p(x)) = -1+3x-3x^2+x^3$
Può andare??
2. Una base di $ R^4 $ è {(1,0,0,1),(0,1,2,2),(0,0,0,1),(0,0,1,0)} e quindi f(x,y,z,t)=xf(1,0,0,1)+yf(0,1,2,2)+zf(0,0,0,1)+tf(0,0,1,0) ora mi blocco poichè stando ai dati f(1,0,0,1) = f(0,1,2,2)=(0,0,0,0) ma gli altri due?
3.Penso anch'io sia una domanda ambigua.
"Ale112":
3.)Dire per quele "a" in R esiste $ f:R^2 -> R^3 $ t.c. f(1,1) = (3,1,1) , f(0,1) = (0,1,1) e f(2,a) = L{(1,-1,0),(2,1,-1)}(spazio generato da..).
Questo è relativamente facile.
Abbiamo già sufficienti informazioni per determinare univocamente la matrice F associata all'applicazione:
$ ( ( b , c ),( e , f ),( g , h ) )( ( 1 , 0 ),( 1 , 1 ) ) =( ( 3 , 0 ),( 1 , 1 ),( 1 , 1 ) ) $
$ F=( ( 3 , 0 ),( 0 , 1 ),( 0 , 1 ) ) $
Applicando $F(2,a)=(6,a,a)$ e deve trovarsi in quello span, ergo deve esserne combinazione lineare.
$ ( ( 1 , 2 ),( -1 , 1 ),( 0 , -1 ) ) ( ( alpha ),( beta ) ) =( ( 6 ),( a ),( a ) ) $
Da cui $alpha=-2a$ $beta=-a$ e $alpha+2beta=6$, quindi $a=-2$
"Ale112":
Determinare una trasformazione lineare di R^4 t.c Ker(f) = Im(f) = V.
Francamente questa condizione mi puzza assai.
E' possibile che l'esercizio chiedesse di trovare DUE applicazioni, una per cui $Im(f)=V$ e una per cui $Ker(f)=V$?
Ah capito! E invece, come ultima cosa, se avessi
f(1,2,-1)=(1,2,-1)
f(0 1,0) = (0,1,0)
f(0,0,1)=(0,0,1)
f(1,0,0)=(0,1,1)
f(1,2,3)=(0,2,2)
Dato che i vettori del dominio disponibili non formano assolutamente una base di R^3, come faccio a trovare l'applicazione che le soddisfi tutte?
f(1,2,-1)=(1,2,-1)
f(0 1,0) = (0,1,0)
f(0,0,1)=(0,0,1)
f(1,0,0)=(0,1,1)
f(1,2,3)=(0,2,2)
Dato che i vettori del dominio disponibili non formano assolutamente una base di R^3, come faccio a trovare l'applicazione che le soddisfi tutte?
Non c'è. Basta vedere dove porta la base canonica.
Stando ai tuoi dati, cerchiamo una matrice F tale che:
$ F( ( 1 , 0 , 0 ),( 0 , 1 , 0 ),( 0 , 0 , 1 ) ) = ( ( 0 , 0 , 0 ),( 1 , 1 , 0 ),( 1 , 0 , 1 ) ) =FI_(3x3)=F$
Ma $ ( ( 0 , 0 , 0 ),( 1 , 1 , 0 ),( 1 , 0 , 1 ) )( ( 1 , 1 ),( 2 , 2 ),( -1 , 3 ) )=( ( 0 , 0 ),( 3 , 3 ),( 0 , 4 ) )!=( ( 1 , 0 ),( 2 , 2 ),( -1 , 2 ) ) $
Un'applicazione F che soddisfi tutte le condizioni quindi non esiste.
Stando ai tuoi dati, cerchiamo una matrice F tale che:
$ F( ( 1 , 0 , 0 ),( 0 , 1 , 0 ),( 0 , 0 , 1 ) ) = ( ( 0 , 0 , 0 ),( 1 , 1 , 0 ),( 1 , 0 , 1 ) ) =FI_(3x3)=F$
Ma $ ( ( 0 , 0 , 0 ),( 1 , 1 , 0 ),( 1 , 0 , 1 ) )( ( 1 , 1 ),( 2 , 2 ),( -1 , 3 ) )=( ( 0 , 0 ),( 3 , 3 ),( 0 , 4 ) )!=( ( 1 , 0 ),( 2 , 2 ),( -1 , 2 ) ) $
Un'applicazione F che soddisfi tutte le condizioni quindi non esiste.
E allora se dovessi fare un omomorfismo t.c.
f(0,1,0)=(0,1,1)
f(-1,-2,1)=(-1,-2,1)
f(1,2,3)=2f(0,1,1)
Che valore dovrei dare all'ultima?
f(0,1,0)=(0,1,1)
f(-1,-2,1)=(-1,-2,1)
f(1,2,3)=2f(0,1,1)
Che valore dovrei dare all'ultima?
Quindi era quello l'esercizio...
E la soluzione è $ F=1/4( ( 3 , 0 , -1 ),( 0 , 4 , 0 ),( -9 , 4 , 3 ) ) $
Non va bene così Alex, non è questo lo spirito del forum ne alcun membro vuole diventare il tuo eserciziario alla cieca.
I problemi che poni sono malformulati e senza straccio di riflessione...e anche quando ti viene data una traccia da seguire (vedi l'esercizio sui polinomi e la risposta di Gugo), non te ne frega nulla.
Arrangiati Alex
E la soluzione è $ F=1/4( ( 3 , 0 , -1 ),( 0 , 4 , 0 ),( -9 , 4 , 3 ) ) $
Non va bene così Alex, non è questo lo spirito del forum ne alcun membro vuole diventare il tuo eserciziario alla cieca.
I problemi che poni sono malformulati e senza straccio di riflessione...e anche quando ti viene data una traccia da seguire (vedi l'esercizio sui polinomi e la risposta di Gugo), non te ne frega nulla.
Arrangiati Alex
Accedi a tutti gli appunti
Tutor AI: studia meglio e in meno tempo