Matrice diagonalizzabile
Sia \( \varphi : K^n \rightarrow K^n \) un endomorfismo, e \( \varphi(x)=Ax \) con \( A \in K^{n \times n} \)
Dimostra che \( A \) è diagonalizzabile se e solo se esiste \( U \in K^{n \times n} \) inversibile tale che \( U^{-1}AU \) è diagonale.
Io ho pensato a questo ma mi sembra troppo poco, secondo voi va bene?
\( \Rightarrow \)
Se \( A \) è diagonalizzabile allora esiste una base \( \mathcal{B}=\{v_1, \ldots,v_n \} \) formata dagli autovettori \( v_i \) in cui la matrice è diagonale, è sufficiente porre \( U \) come la matrice di cambiamento base che è una matrice inversibile ed è una matrice \( n \times n \) dunque esiste \( U \in K^{n \times n} \) inversibile tale che \( U^{-1}AU \) è diagonale.
\( \Leftarrow \)
Visto che esiste \( U \in K^{n \times n} \) inversibile tale che \( U^{-1}AU \) è diagonale allora vuol dire che esiste una base \( \mathcal{B}=\{v_1, \ldots,v_n \} \) in cui la matrice \( A \) è diagonale. I vettori \( v_i \) sono pertanto gli autovettori associati agli autovalori e la matrice è diagonalizzabile.
Dimostra che \( A \) è diagonalizzabile se e solo se esiste \( U \in K^{n \times n} \) inversibile tale che \( U^{-1}AU \) è diagonale.
Io ho pensato a questo ma mi sembra troppo poco, secondo voi va bene?
\( \Rightarrow \)
Se \( A \) è diagonalizzabile allora esiste una base \( \mathcal{B}=\{v_1, \ldots,v_n \} \) formata dagli autovettori \( v_i \) in cui la matrice è diagonale, è sufficiente porre \( U \) come la matrice di cambiamento base che è una matrice inversibile ed è una matrice \( n \times n \) dunque esiste \( U \in K^{n \times n} \) inversibile tale che \( U^{-1}AU \) è diagonale.
\( \Leftarrow \)
Visto che esiste \( U \in K^{n \times n} \) inversibile tale che \( U^{-1}AU \) è diagonale allora vuol dire che esiste una base \( \mathcal{B}=\{v_1, \ldots,v_n \} \) in cui la matrice \( A \) è diagonale. I vettori \( v_i \) sono pertanto gli autovettori associati agli autovalori e la matrice è diagonalizzabile.
Risposte
Stai utilizzandolo la condizione necessaria affinché due matrici siano simili (stessi autovalori)
La prima parte è ok, la seconda quasi. Infatti i \(v_i\) non sono autovettori di \(A\) (sono gli autovalori ad essere preservati). Ad esserlo sono la loro immagine tramite \(U\).
Per capirci, sia \(\displaystyle B= U^{-1}AU \) allora \(\displaystyle Bv_i = \lambda_iv_i \) e \(\displaystyle A = UBU^{-1} \). Risulta dunque che \(\displaystyle AUv_i = UBU^{-1}Uv_i = \lambda_iUv_i \).
Comunque non era necessario scomodare gli autovalori. Infatti, ti basta osservare che se \(V\) è il cambiamento di base che rende \(U^{-1}AU\) diagonale allora \(UV\) è il cambiamendo di base che rende \(A\) diagonale.
In generale, si sarebbe potuto dimostrare direttamente che la diagonalizzabilità è preservata per similitudine.
P.S.: Comunque inversibile non è una parola italiana. Suppongo tu volessi dire invertibile.
Per capirci, sia \(\displaystyle B= U^{-1}AU \) allora \(\displaystyle Bv_i = \lambda_iv_i \) e \(\displaystyle A = UBU^{-1} \). Risulta dunque che \(\displaystyle AUv_i = UBU^{-1}Uv_i = \lambda_iUv_i \).
Comunque non era necessario scomodare gli autovalori. Infatti, ti basta osservare che se \(V\) è il cambiamento di base che rende \(U^{-1}AU\) diagonale allora \(UV\) è il cambiamendo di base che rende \(A\) diagonale.
In generale, si sarebbe potuto dimostrare direttamente che la diagonalizzabilità è preservata per similitudine.
P.S.: Comunque inversibile non è una parola italiana. Suppongo tu volessi dire invertibile.
"vict85":
La prima parte è ok, la seconda quasi. Infatti i \( v_i \) non sono autovettori di \( A \) (sono gli autovalori ad essere preservati). Ad esserlo sono la loro immagine tramite \( U \).
Per capirci, sia \( \displaystyle B= U^{-1}AU \) allora \( \displaystyle Bv_i = \lambda_iv_i \) e \( \displaystyle A = UBU^{-1} \). Risulta dunque che \( \displaystyle AUv_i = UBU^{-1}Uv_i = \lambda_iUv_i \).
Comunque non era necessario scomodare gli autovalori. Infatti, ti basta osservare che se \( V \) è il cambiamento di base che rende \( U^{-1}AU \) diagonale allora \( UV \) è il cambiamendo di base che rende \( A \) diagonale.
In generale, si sarebbe potuto dimostrare direttamente che la diagonalizzabilità è preservata per similitudine.
P.S.: Comunque inversibile non è una parola italiana. Suppongo tu volessi dire invertibile.
Ma scusami dici che \( v_i \) non sono autovettori e poi dici \( \displaystyle Bv_i = \lambda_iv_i \) questo non implica che \( \varphi(v_i) = \lambda_i v_i \) ? E dunque autovettori?
Quello che dico è che se i vettori \(\{v_i\}\) sono autovettori di una matrice \(B = U^{-1}AU\) allora i vettori \(\{Uv_i\}\) sono autovettori di \(A\), ma forse ho frainteso a quale matrice tu stavi associando gli autovettori.
Magari ho frainteso io ma
Abbiamo che \( A \) è la matrice dell'endomorfismo \( \varphi \), per rapporto ad una certa base \( \mathcal{B}' = \{ w_1 , \ldots , w_n \} \) e sia per ipotesi \( B:=U^{-1} A U \) una matrice diagonale, possiamo vedere \( U \) come una matrice di passaggio dalla base \( \mathcal{B}' \) alla base \( \mathcal{B} \) e dunque \( B \) è la matrice dell'endomorfismo \( \varphi \) solo che espressa con la base dei vettori \( \mathcal{B}=\{v_1, \ldots, v_n \} \) e siccome questa nuova base rende la matrice diagonale abbiamo che gli autovettori sono \( v_i \) associati agli autovalori (elementi della diagonale di \( B \) ) \( \lambda_i \) e pertanto, gli autovettori di \( B \) e di \( A \) sono gli stessi vettori solo che hanno un'espressione diversa in quanto scritti in rapporto a \( \mathcal{B} \) e/o in rapporto a \( \mathcal{B}' \), o sbaglio?
Abbiamo che \( A \) è la matrice dell'endomorfismo \( \varphi \), per rapporto ad una certa base \( \mathcal{B}' = \{ w_1 , \ldots , w_n \} \) e sia per ipotesi \( B:=U^{-1} A U \) una matrice diagonale, possiamo vedere \( U \) come una matrice di passaggio dalla base \( \mathcal{B}' \) alla base \( \mathcal{B} \) e dunque \( B \) è la matrice dell'endomorfismo \( \varphi \) solo che espressa con la base dei vettori \( \mathcal{B}=\{v_1, \ldots, v_n \} \) e siccome questa nuova base rende la matrice diagonale abbiamo che gli autovettori sono \( v_i \) associati agli autovalori (elementi della diagonale di \( B \) ) \( \lambda_i \) e pertanto, gli autovettori di \( B \) e di \( A \) sono gli stessi vettori solo che hanno un'espressione diversa in quanto scritti in rapporto a \( \mathcal{B} \) e/o in rapporto a \( \mathcal{B}' \), o sbaglio?
Scusa, mi sono reso conto che avevo letto male il testo, pensavo che richiedesse che \(B\) fosse diagonalizzabile e non diagonale. D'altra parte sembra che dicevamo la stessa cosa, semplicemente io stato scrivendo esplicitamente il cambio di base. Comunque, che definizione usi di matrice diagonalizzabile?
Def: Un endomorfismo \( f: V \rightarrow V \) per il quale esiste una base di \( V \) composta da autovettori è diagonalizzaile.
Def: Una matrice \( A \in K^{n \times n} \) è diagonalizzabile se l'endomorfismo \( f : K^n \rightarrow K^n \) definito come \( f(x)= Ax \) è diagonalizzabile.
Def: Una matrice \( A \in K^{n \times n} \) è diagonalizzabile se l'endomorfismo \( f : K^n \rightarrow K^n \) definito come \( f(x)= Ax \) è diagonalizzabile.
In questo caso direi che il problema è in effetti piuttosto banale perché \(A\) e \(U^{-1}AU\) sono associate allo stesso endomorfismo (rispetto a due basi differenti).
A diagonale ---> esiste una matrice simile B diagonale.
B matrice simile associata ad A (diagonale) ---->A diagonale...... Banale
B matrice simile associata ad A (diagonale) ---->A diagonale...... Banale
"Antonio Mantovani":
A diagonale ---> esiste una matrice simile B diagonale.
B matrice simile associata ad A (diagonale) ---->A diagonale...... Banale
Guarda che A non è diagonale ma diagonalizzabile. A parte questo sono d'accordo che da vedere è semplice ma un'altra cosa è giustificarlo in modo soddisfacente, infatti la mia domanda era più legata alla giustificazione che ho dato se andava bene oppure no, e non di comprensione del problema.
Comunque ho riletto quello che hai scritto tenendo conto della definizione di matrice diagonalizzabile e del mio errore di lettura iniziale e direi che quello che hai scritto va bene. Non aggiungerei nulla.
"vict85":
Comunque ho riletto quello che hai scritto tenendo conto della definizione di matrice diagonalizzabile e del mio errore di lettura iniziale e direi che quello che hai scritto va bene. Non aggiungerei nulla.
Grazie mille
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