Retta parallela al piano e passante per un punto

[masaurus]

Ciao devo verificare se la retta r è parallela al piano s, e poi devo trovare il piano che contiene la retta passante per il punto.
Se possibile vorrei un feedback:
r={2x-y-3z-1=0 ; s=2x+y-5z-3=0 ; P(3,1,-1)
{y-z-3=0
dopo aver calcolato il rango completa - incompleta ; A e A|B ho trovato che la retta è parallela non contenuta;
poi ho seguito il seguente metodo, poni z=t; da cui y=t+3 nella seconda
per sostituzione nella prima ho 2x=y+3z+1 => 2x=t+3+3t+1 => x=2t+t; per cui:
x=2+2t
y=3+t vettore v=(2,3,1); ponendo t=0: x=2, y=3, z=0 da cui w= P-Pi = (3,1,-1) - (2,3,0) = (1,-2,-1); w=(1,-2,-1)
z=t
v*w= (a,b,c) = -1,3,-7 => -x+3y-7z+d=0; d=5 => -x+3y-7z+5=0
se il procedimento è giusto, è corretto porre l'equazione in questa forma? -x+3y-7z+5=0

[Bokonon]

Masaurus, è arrivato il momento di rispettare il regolamento...usa l'editor per le formule o si fatica troppo per capirti.

Il ragionamento è giusto ma c'è un errore nella parametrizzazione.
$ r:{( ( x ),( y ),( z ) ) =t( ( 2 ),( 1 ),( 1 ) )+( ( 2 ),( 3 ),( 0 ) ) $

Se la retta è perpendicolare al piano allora s non la contiene (e infatti non contiene il punto $(2,3,0)$) ed è perpendicolare alla direzione $(2,1,-5)$. Infatti $<2,1,1>*<2,1,-5> =0$

"masaurus":e poi devo trovare il piano che contiene la retta passante per il punto.

Non ha senso quanto scrivi ma immagino sia il piano che contenga r e il punto P.
Quindi trovando, come hai fatto, $w=<3,1,-1> - <2,1, 1> = <1, -2, -1>$ e facendo il prodotto vettoriale con la direzione della retta si ottiene la direzione (1, 3, -5), quindi il piano è $x+3y-5z=d$ e sostituendo un punto si trova d=11.
Quindi $x+3y-5z-11=0$

[masaurus]

Scusa per gli errori e, grazie per l'aiuto...