Basi
buongiono mi aiutate a fare questo esercizio: Completare in una base dello spazio ambiente gli insiemi che tra i seguenti risultano essere linearmente indipendenti:
(i) {(1,0,0,1),(0,1,1,0),(0,1,2,0)} ⊆ $R^4$
ho verificato che e indipendente ora come faccio a completare la base ovviamente so che in tal caso per completare la base manca un vettore ma come faccio a determinare gli elementi che il vettore contiene?
il vettore di completamento è (0,0,0,0) giusto?
(i) {(1,0,0,1),(0,1,1,0),(0,1,2,0)} ⊆ $R^4$
ho verificato che e indipendente ora come faccio a completare la base ovviamente so che in tal caso per completare la base manca un vettore ma come faccio a determinare gli elementi che il vettore contiene?
il vettore di completamento è (0,0,0,0) giusto?
Risposte
"arnett":
[quote="sara09"]
il vettore di completamento è (0,0,0,0) giusto?
No, una base non contiene mai il vettore nullo. Il vettore nullo rende linearmente dipendente qualsiasi sistema di vettori.
Se vedi ad occhio che per completare quel sistema hai bisogno di $(1, 0, 0, 0)$ o di $(0, 0, 0, 1)$ bene, se no devi
1. formare un sistema di generatori di $\RR^4$ aggiungendo ai tre che hai già una base di $\RR^4$ (tipo quella canonica)
2. estrarre da tale sistema di sette generatori un sottosistema di quattro generatori indipendenti che comprenda i tre vettori da cui sei partita
In pratica tieni già da parte i tuoi tre vettori e verifichi ad uno ad uno se i vettori delle base canonica siano linearmente dipendenti o meno da essi. Appena trovi un vettore che non dipende linearmente dai tre di partenza, hai trovato un vettore che ti completa la base.
Scrivi con le [formule][/formule].[/quote]
scusa ma se io faccio a(1,0,0,1)+b(0,11,0)+c(0,1,2,0)=(0,0,0,0)
ho che: (a, b+c ,b+2c ,a)=(0,0,0,0)
$ { ( a=0 ),( b+c=0 ),( b+2c=0) ,(a=0) :} $
$ { ( a=0 ),( b=0 ),( c=0 ):} $
quindi e indipendente
no?
e scusa volevo dire il vettore (0,0,0,1)
"arnett":
No, così dimostri soltanto che i tre vettori di partenza sono un sistema di vettori linearmente indipendenti.
Se a tale sistemi aggiungi il vettore nullo ottieni un sistema linearmente dipendente.
si okok poi ho calcolato a(1,0,0,1)+b(0,1,1,0)+c(0,1,2,0)+d(0,0,0,1)=(0,0,0,0)
risolvendo e facendo il sistema viene che e indipendente e quindi (0,0,0,1) può essere il vettore che completa la base
va bene casi?
"arnett":
Sì, nel caso generale in cui non riesci a trovare "ad occhio" un vettore che vada bene tieni presente quello che ho detto.
va bene puoi aiutarmi anche con questi altri due?
1)) {(0,1,0,1),(1,1,0,1),(2,1,0,1)} ⊆ R4
3))$ ( ( 1 , 0 ),( 0 , 2 ) ) ( ( 0 , 0),( -4 , 1 ) ) ( ( 0 , 0 ),( 0 , 0 ) ) $ sube $ R^3
//
2)) {$x^2$+x ,x+1, 3+x} $ sube $ R^4[X]
il primo un possibile vettore per completare la base è : (0,0,1,0) giusto?
il terzo il vettore che può completare la base è
$ ( ( 0 , 0 ),( 1 , 0 ) ) $
giusto?
il secondo non riesco a farlo
il terzo il vettore che può completare la base è
$ ( ( 0 , 0 ),( 1 , 0 ) ) $
giusto?
il secondo non riesco a farlo
Proviamo a ragionare (su cose semplici) in termini generali, così vedi l'approccio mentale per risolvere problemi semplici come questo...e potrai riapplicarlo a qualsiasi situazione "nuova".
Prendiamo i tre vettori e mettiamoli in colonna.
$ ( ( 1 , 0 , 0 ),( 0 , 1 , 1 ),( 0 , 1 , 2 ),( 1 , 0 , 0 ) ) $
Ti dico cosa vedo io. Il primo vettore non può creare ne essere creato dai rimanenti due, perchè:
a) se cerco di usarlo per creare il secondo o il terzo devo necessariamente moltiplicarlo per 0...e quindi fallisco.
b) di converso, se cerco di crearlo da una comb lineare degli altri due non otterrò mai nulla diverso da 0 nella prima e quarta componente, quindi non ci riesco. Ergo è sicuramente indip. dagli altri due.
Il secondo e il terzo differiscono solo per la seconda e terza componente, quindi se queste non sono comb. lineare l'una dell'altra, allora sono indip. Ed è evidente che lo sono (pensaci).
Quindi i tre vettori sono l. i.
Un quarto vettore l.i. potrebbe essere scelto fra quelli che hanno la prima o l quarta componente (o entrambe) diverse da zero, così di certo non è comb. lineare del secondo e terzo vettore colonna (vedi l'argomentazione al punto b) ).
E dovendo essere l. i. anche dal primo posso scegliere ad esempio (0,0,0,1), (1,0,0,0), (1,0,0,2), (1,1,0,1), (1,0,1,0) e posso andare avanti per ore
O se proprio voglio fare lo splendido, allora potrei calcolare il prodotto vettoriale dei tre vettori e ottenere un vettore ortogonale ad essi...che sarà certamente l.i.
Insomma, prova ad avere uno spirito "attivo" nella risoluzione dei problemi. Lo dico perchè la sensazione (derivante dagli altri thread) e le statistiche, mi dicono che hai la propensione a cercare metodi meccanici. Se mi dici che sbaglio lo accetto e chiedo preventivamente scusa, ma non dirmi che era un ragionamento inarrivabile!
Stessa cosa per gli altri problemi (che siano matrici o polinomi o quant'altro).
Prendiamo i tre vettori e mettiamoli in colonna.
$ ( ( 1 , 0 , 0 ),( 0 , 1 , 1 ),( 0 , 1 , 2 ),( 1 , 0 , 0 ) ) $
Ti dico cosa vedo io. Il primo vettore non può creare ne essere creato dai rimanenti due, perchè:
a) se cerco di usarlo per creare il secondo o il terzo devo necessariamente moltiplicarlo per 0...e quindi fallisco.
b) di converso, se cerco di crearlo da una comb lineare degli altri due non otterrò mai nulla diverso da 0 nella prima e quarta componente, quindi non ci riesco. Ergo è sicuramente indip. dagli altri due.
Il secondo e il terzo differiscono solo per la seconda e terza componente, quindi se queste non sono comb. lineare l'una dell'altra, allora sono indip. Ed è evidente che lo sono (pensaci).
Quindi i tre vettori sono l. i.
Un quarto vettore l.i. potrebbe essere scelto fra quelli che hanno la prima o l quarta componente (o entrambe) diverse da zero, così di certo non è comb. lineare del secondo e terzo vettore colonna (vedi l'argomentazione al punto b) ).
E dovendo essere l. i. anche dal primo posso scegliere ad esempio (0,0,0,1), (1,0,0,0), (1,0,0,2), (1,1,0,1), (1,0,1,0) e posso andare avanti per ore
O se proprio voglio fare lo splendido, allora potrei calcolare il prodotto vettoriale dei tre vettori e ottenere un vettore ortogonale ad essi...che sarà certamente l.i.
Insomma, prova ad avere uno spirito "attivo" nella risoluzione dei problemi. Lo dico perchè la sensazione (derivante dagli altri thread) e le statistiche, mi dicono che hai la propensione a cercare metodi meccanici. Se mi dici che sbaglio lo accetto e chiedo preventivamente scusa, ma non dirmi che era un ragionamento inarrivabile!
Stessa cosa per gli altri problemi (che siano matrici o polinomi o quant'altro).
"Bokonon":
Proviamo a ragionare (su cose semplici) in termini generali, così vedi l'approccio mentale per risolvere problemi semplici come questo...e potrai riapplicarlo a qualsiasi situazione "nuova".
Prendiamo i tre vettori e mettiamoli in colonna.
$ ( ( 1 , 0 , 0 ),( 0 , 1 , 1 ),( 0 , 1 , 2 ),( 1 , 0 , 0 ) ) $
Ti dico cosa vedo io. Il primo vettore non può creare ne essere creato dai rimanenti due, perchè:
a) se cerco di usarlo per creare il secondo o il terzo devo necessariamente moltiplicarlo per 0...e quindi fallisco.
b) di converso, se cerco di crearlo da una comb lineare degli altri due non otterrò mai nulla diverso da 0 nella prima e quarta componente, quindi non ci riesco. Ergo è sicuramente indip. dagli altri due.
Il secondo e il terzo differiscono solo per la seconda e terza componente, quindi se queste non sono comb. lineare l'una dell'altra, allora sono indip. Ed è evidente che lo sono (pensaci).
Quindi i tre vettori sono l. i.
Un quarto vettore l.i. potrebbe essere scelto fra quelli che hanno la prima o l quarta componente (o entrambe) diverse da zero, così di certo non è comb. lineare del secondo e terzo vettore colonna (vedi l'argomentazione al punto b) ).
E dovendo essere l. i. anche dal primo posso scegliere ad esempio (0,0,0,1), (1,0,0,0), (1,0,0,2), (1,1,0,1), (1,0,1,0) e posso andare avanti per ore
O se proprio voglio fare lo splendido, allora potrei calcolare il prodotto vettoriale dei tre vettori e ottenere un vettore ortogonale ad essi...che sarà certamente l.i.
Insomma, prova ad avere uno spirito "attivo" nella risoluzione dei problemi. Lo dico perchè la sensazione (derivante dagli altri thread) e le statistiche, mi dicono che hai la propensione a cercare metodi meccanici. Se mi dici che sbaglio lo accetto e chiedo preventivamente scusa, ma non dirmi che era un ragionamento inarrivabile!
Stessa cosa per gli altri problemi (che siano matrici o polinomi o quant'altro).
Ah capito grazie mille
Accedi a tutti gli appunti
Tutor AI: studia meglio e in meno tempo