Sottospazi generati.
Buongiorno,
ho il seguente dubbio, sarà anche un dubbio ingenuo, ma vorrei chiarirlo con voi, vi riporto la traccia:
Considero i tre sottoinsiemi non vuoti di uno spazio vettoriale $V$, siano $A,B, X$ con la seguente proprietà
$A subseteq B$
$B subseteq X$
risulta che $[A]=[X]$, con il simbolo $$ intendo sottospazio generato da $*$.
Procedo nel seguente modo $[A]=[X]$ se e soltanto se $[A] subseteq [X]$ e $[X] subseteq [A]$.
Risulta ovvia la prima relazione $[A] subseteq [X]$, invece per provare la seconda, procedo cosi:
Per una proprità sugli spazivettoriali generati si ha che se $X subseteq [A]$ in tal caso si ha $[X] subseteq [A]$.
Quindi:
se $x in X to x in [A]$, se $x in [A]$ se soltanto se $x in A$, essendo che $A subseteq X$ si ha $[X] subseteq [A]$.
Cordiali saluti.
ho il seguente dubbio, sarà anche un dubbio ingenuo, ma vorrei chiarirlo con voi, vi riporto la traccia:
Considero i tre sottoinsiemi non vuoti di uno spazio vettoriale $V$, siano $A,B, X$ con la seguente proprietà
$A subseteq B$
$B subseteq X$
risulta che $[A]=[X]$, con il simbolo $
Procedo nel seguente modo $[A]=[X]$ se e soltanto se $[A] subseteq [X]$ e $[X] subseteq [A]$.
Risulta ovvia la prima relazione $[A] subseteq [X]$, invece per provare la seconda, procedo cosi:
Per una proprità sugli spazivettoriali generati si ha che se $X subseteq [A]$ in tal caso si ha $[X] subseteq [A]$.
Quindi:
se $x in X to x in [A]$, se $x in [A]$ se soltanto se $x in A$, essendo che $A subseteq X$ si ha $[X] subseteq [A]$.
Cordiali saluti.
Risposte
Quello che cerchi di dimostrare è falso. Per lo meno se ci si limita a sottospazi qualsiasi. Per esempio in \(\mathbb{R}^3\), gli insiemi \(A=\{\mathbf{e}_1\}\), \(B=\{\mathbf{e}_1, \mathbf{e}_2\}\), \(X=\{\mathbf{e}_1, , \mathbf{e}_2, , \mathbf{e}_3\}\) generano sottospazi diversi.
Si 
quindi per avere questo $[A]=$, i due insieme per esempio possono essere composti $A={mathbf{e_1}}$ e $B={mathbf{e_1},cmathbf{e_1}}$, con $c in mathbb{R}$ ?
quindi per avere questo $[A]=$, i due insieme per esempio possono essere composti $A={mathbf{e_1}}$ e $B={mathbf{e_1},cmathbf{e_1}}$, con $c in mathbb{R}$ ?
Si, è quello che stavo dicendo. Non capisco che stai cercando di dimostrare e a cosa ti serve \(B\).
si, sto studiando le proprietà delle basi di un sottospazio vettoriale, stavo provando a generalizzare una dimostrazione.
Ho ancora un altro problemino, lo inserisco qui, oppure, apro un altro topic ?
Ho ancora un altro problemino, lo inserisco qui, oppure, apro un altro topic ?
Inserisci pure qui.
Buongiorno, riporto solo la parte di cui non ho capito, sarà una banalità ma non mi è chiara.
Sia $B$ l.i.
Sia $S$ un sistema di vettori di $X$ con $|S|>|B|$, intendo cardinalità, si ha $S subseteq [X]=$ e quindi in base al teorema di Steinitz $S$ non può essere linearmente indipendente, quindi $B$ ha ordine massimo tra i sistemi linearmente indipendenti di $X$.
Il punto che non mi è chiaro è $S subseteq [X]=$, mi spiego se la cardinalità di $S$ è maggiore della cardinalità di $B$ come puo essere contenuto in $X$ il sistema $S$.
Ciao
Sia $B$ l.i.
Sia $S$ un sistema di vettori di $X$ con $|S|>|B|$, intendo cardinalità, si ha $S subseteq [X]=$ e quindi in base al teorema di Steinitz $S$ non può essere linearmente indipendente, quindi $B$ ha ordine massimo tra i sistemi linearmente indipendenti di $X$.
Il punto che non mi è chiaro è $S subseteq [X]=$, mi spiego se la cardinalità di $S$ è maggiore della cardinalità di $B$ come puo essere contenuto in $X$ il sistema $S$.
Ciao
\(S\) e \(B\) sono insiemi, non sottospazi. Nota che per ogni insieme \(S\) tale che \(B \subseteq S \subseteq \) si ha che \( = \). Ti invito a dimostrarlo.
Si, procedo così,
Per ipotesi abbiamo $B subseteq S subseteq $, dobbiamo verificare che $=$
Verificare $=$, comporta a verificare la condizione equivalente $subseteq $, $ subseteq $.
Quindi sia $B subseteq S$, si ha che $B subseteq S subseteq$ in quanto il sottospazio vettoriale generato $$, è il più piccolo sottospazio vettoriale contente $B$, ovviamente $$ contiene $B$ per cui risulta $ subseteq $.
Invece, per la seconda parte procedo cosi, combinando questo $B subseteq S subseteq$ con questo $B subseteq S subseteq $, ottengo la tesi, $ subseteq $.
Quindi questo dovrebbe rispondere alla mia domanda, c'è un altro problemino
, non riesco a formalizzare che, $S$ contiene $B$, $S$ contenuto in $$, si debba avere che il sistema $B$ abbia ordine massimo trai i sistemi linearmente indipendenti in $X$.
Per ipotesi abbiamo $B subseteq S subseteq $, dobbiamo verificare che $=
Verificare $=
Quindi sia $B subseteq S$, si ha che $B subseteq S subseteq
Invece, per la seconda parte procedo cosi, combinando questo $B subseteq S subseteq
Quindi questo dovrebbe rispondere alla mia domanda, c'è un altro problemino
, non riesco a formalizzare che, $S$ contiene $B$, $S$ contenuto in $$, si debba avere che il sistema $B$ abbia ordine massimo trai i sistemi linearmente indipendenti in $X$.
Penso di aver capito, essendo che $B$ è linearmente indipendente, per il teorema di Steintz il sistema $S$ è lineramente dipendente, quindi potrebbe essere visto come $S=B cup {mathbf{u}}$, quindi $B$ dipendente linearmente da $mathbf{u}$, questo implica che $B$ è linearmente indipendete di ordine massimo.
Spero di non aver detto fantasie
Ciao
Spero di non aver detto fantasie
Ciao
Questo deriva dall'unicità della dimensione di un sottospazio finito. Dovrei pensarci, ma per il caso infinito mi sa che si debba usare il lamma di Zorn per dimostrarlo. Insomma in altri termini vale il seguente teorema (che ho scritto io sul momento e a memoria):
Sia \(V\) uno spazio vettoriale (o un sottospazio di uno spazio vettoriale) allora:
[list=1][*:pj6dnqtt] possiede almeno un insieme minimale \(B\) di generatori (un insieme di generatori è un insieme tale che \( = V\));[/*:m:pj6dnqtt]
[*:pj6dnqtt] \(B\) è linearmente indipendente;[/*:m:pj6dnqtt]
[*:pj6dnqtt] se \(B'\) è un'atro insieme minimale di generatori allora \(|B'| = |B|\).[/*:m:pj6dnqtt]
[*:pj6dnqtt] se \(d=|B|\) è finito allora ogni altro insieme linearmente indipendente di cardinalità \(d\) è un insieme minimale di generatori. [/*:m:pj6dnqtt][/list:o:pj6dnqtt]
L'ultimo punto è facile dimostrare che è falso nel caso di dimensione infinita.
\(S\) può avere più di un elemento di più di \(B\).
Sia \(V\) uno spazio vettoriale (o un sottospazio di uno spazio vettoriale) allora:
[list=1][*:pj6dnqtt] possiede almeno un insieme minimale \(B\) di generatori (un insieme di generatori è un insieme tale che \( = V\));[/*:m:pj6dnqtt]
[*:pj6dnqtt] \(B\) è linearmente indipendente;[/*:m:pj6dnqtt]
[*:pj6dnqtt] se \(B'\) è un'atro insieme minimale di generatori allora \(|B'| = |B|\).[/*:m:pj6dnqtt]
[*:pj6dnqtt] se \(d=|B|\) è finito allora ogni altro insieme linearmente indipendente di cardinalità \(d\) è un insieme minimale di generatori. [/*:m:pj6dnqtt][/list:o:pj6dnqtt]
L'ultimo punto è facile dimostrare che è falso nel caso di dimensione infinita.
\(S\) può avere più di un elemento di più di \(B\).
La 3. e la 4. sono equivalenti ?
Inoltre la prop. 4. dovrebbe essere la stessa che ho proposto io, cioè quello che ho scritto..
Inoltre la prop. 4. dovrebbe essere la stessa che ho proposto io, cioè quello che ho scritto..
"galles90":è solo una parte della dimostrazione, della stessa proposizione che hai proposto.
Buongiorno, riporto solo la parte di cui non ho capito, sarà una banalità ma non mi è chiara.
Sia $ B $ l.i.
Sia $ S $ un sistema di vettori di $ X $ con $ |S|>|B| $...
La 3 e 4 non sono equivalenti. Insomma la 4 implica la 3 ma non il viceversa. Quindi in pratica hai problemi a capire la dimostrazione del punto 4?
Non lo so se è corretto, comunque per assurdo suppongo che esiste un sistema di generatori $B'$ di $V$, cioè $[B']=V$ contenuto in $B$, essendo che $B subseteq =[B']=V$ si ha per il T.S. $|B| le |B'|$ assurdo perchè $B' subseteq B$
Attento che qui si rischia di usare ragionamenti ciclici. Il metodo più diretto da usare è il seguente:
Sia \(s\in S\). Siccome \(S \subset \), allora \(\displaystyle s = \sum_{b\in B} \alpha_bb\) dove solo un numero finito di \(\alpha_b\) è diverso da \(0\). Pertanto \(B\cup \{s\}\) è linearmente dipendente per ogni \(S - B\) e quindi \(B\) è un insieme linearmente indipendente massimale in \(S\).
Sia \(s\in S\). Siccome \(S \subset \), allora \(\displaystyle s = \sum_{b\in B} \alpha_bb\) dove solo un numero finito di \(\alpha_b\) è diverso da \(0\). Pertanto \(B\cup \{s\}\) è linearmente dipendente per ogni \(S - B\) e quindi \(B\) è un insieme linearmente indipendente massimale in \(S\).
Scusami, ma non sono uguali 
"galles90":
Penso di aver capito, essendo che $B$ è linearmente indipendente, per il teorema di Steintz il sistema $S$ è lineramente dipendente, quindi potrebbe essere visto come $S=B cup {mathbf{u}}$, quindi $B$ dipendente linearmente da $mathbf{u}$, questo implica che $B$ è linearmente indipendete di ordine massimo.
Spero di non aver detto fantasie
Ciao
Quasi, il punto è che \(S\supseteq B \cup \{\mathbf{u}\}\), ma non sono necessariamente uguali.
Buongiorno vic85, ci sono, mi stavo facendo un problema, per nulla. Ho riletto la nozione di base, su un altro libro, dove spiega proprio il mio dubbio mediante una proposizione, dove la dimostrazione è identica alla tua.
In sintesi posso dire che, partiamo dal fatto
$B$ base di $X$, dove $X$ sottoinsieme di uno spazio vettoriali $V$.
Allora $B$ è un insieme massimale in $X$, di vettori linearmente indipendenti. "era proprio la mia domanda"
Essendo che $B$ è un sistema di generatori e i vettori che lo compongono sono l.i. quindi si ha
$x=a_1x_1+ ... +a_nx_n$, quindi si ha la seguente realazione lineare, con scalari non tutti nulli, cioè tipo il coefficienti di $x$ è pari $1$, ovvero $x-a_1x_1- ... -a_nx_n=0$.
E' corretto?
In sintesi posso dire che, partiamo dal fatto
$B$ base di $X$, dove $X$ sottoinsieme di uno spazio vettoriali $V$.
Allora $B$ è un insieme massimale in $X$, di vettori linearmente indipendenti. "era proprio la mia domanda"
Essendo che $B$ è un sistema di generatori e i vettori che lo compongono sono l.i. quindi si ha
$x=a_1x_1+ ... +a_nx_n$, quindi si ha la seguente realazione lineare, con scalari non tutti nulli, cioè tipo il coefficienti di $x$ è pari $1$, ovvero $x-a_1x_1- ... -a_nx_n=0$.
E' corretto?
Si è corretto.
Grazie mille, per l'aiuto
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