Isomorfismi tra spazi vettoriali
Mi è capitato di svolgere diversi esercizi in cui dati due spazi vettoriali dovessi dimostrarne l'isomorfismo (sia monomorfismo giocando sul ker, che epimorfismo lavorando sul "codominio").
Il punto è che sono sempre spazi dati, mi chiedevo ora se fosse in qualche modo generalizzabile con una dimostrazione che due spazi n-dimensionali (entrambi n-dimensionali) siano sempre isomorfi tra loro. Senza specificarne il tipo di spazio come negli esercizi che mi sono stati dati.
Non mi è del tutto chiaro questo fatto, ringrazio
!
Il punto è che sono sempre spazi dati, mi chiedevo ora se fosse in qualche modo generalizzabile con una dimostrazione che due spazi n-dimensionali (entrambi n-dimensionali) siano sempre isomorfi tra loro. Senza specificarne il tipo di spazio come negli esercizi che mi sono stati dati.
Non mi è del tutto chiaro questo fatto, ringrazio
!
Risposte
Sì, tutti gli spazi vettoriali di dimensione finita e della stessa dimensione sono isomorfi.
"albalonga":
due spazi n-dimensionali (entrambi n-dimensionali)
Cosa vuol dire esattamente?
"caulacau":
Sì, tutti gli spazi vettoriali di dimensione finita e della stessa dimensione sono isomorfi.
Grazie
, ma come potrei dimostrarlo formalmente? Non ci sono riuscito da solo.@Bokonon: sì era un po' tautologico
.Volevo solamente chiedere se due spazi n-dimensionali fossero sempre isomorfi tra loro, nient'altro 
Metti insieme questi due fatti:
1. Tutti gli spazi vettoriali sono isomorfi a $K^d$, dove $d$ è la loro dimensione.
2. Ogni biiezione dell'insieme \(\{1,\dots, n\}\) induce un isomorfismo $f : K^n \to K^n$.
1. Tutti gli spazi vettoriali sono isomorfi a $K^d$, dove $d$ è la loro dimensione.
2. Ogni biiezione dell'insieme \(\{1,\dots, n\}\) induce un isomorfismo $f : K^n \to K^n$.
"albalonga":
@Bokonon: Volevo solamente chiedere se due spazi n-dimensionali fossero sempre isomorfi tra loro, nient'altro
In quel caso non ne sono certo...
Prendiamo due spazi vettoriali $ V sube R^n $ e $ W sube R^m $ con $m>n$
Inoltre assumiamo che $dim(V)"="n$.
Data una applicazione $f: V->W$ tale che $Ker(f)={0}$, segue che è iniettiva pertanto $dim(W)"="dim(V)"="n$
Quindi abbiamo due spazi di uguali dimensioni, come da tua ipotesi.
Ma $f$ è un isomorfismo?
Per due spazi che hanno la stessa dimensione prendi due basi $B_V={v_1,...,v_n}$ e $B_W={w_1,...,w_n}$
Definisci $L(x_1v_1+...+x_nv_n)=x_1w_1+...+x_nw_n$
Che proprietà ha questa applicazione?
Il motivo per cui due spazi con la stessa dimensione siano isomorfi è semplice: i vettori dei due spazi possono essere descritti dallo stesso numero di coordinate.
Per esempio $RR^2$ e $RR^3$ non possono essere isomorfi perché ci sono sempre vettori che escono dal piano in $RR^3$.
Definisci $L(x_1v_1+...+x_nv_n)=x_1w_1+...+x_nw_n$
Che proprietà ha questa applicazione?
Il motivo per cui due spazi con la stessa dimensione siano isomorfi è semplice: i vettori dei due spazi possono essere descritti dallo stesso numero di coordinate.
Per esempio $RR^2$ e $RR^3$ non possono essere isomorfi perché ci sono sempre vettori che escono dal piano in $RR^3$.
"anto_zoolander":
Per due spazi che hanno la stessa dimensione
Ma è proprio questo il punto che ho enfatizzato: due spazi possono avere dimensione uguale ma avere basi con vettori aventi un diverso numero di componenti.
"Bokonon":
[quote="anto_zoolander"]Per due spazi che hanno la stessa dimensione
Ma è proprio questo il punto che ho enfatizzato: due spazi possono avere dimensione uguale ma avere basi con vettori aventi un diverso numero di componenti.[/quote]
No, non possono...
"caulacau":
No, non possono...
$ V={( ( 1 ),( 0 ) ), ( ( 0 ),( 1 ) )} $
$ W={( ( 1 ),( 0 ),( 0 ) ) , ( ( 0 ),( 1 ),( 0 ) )} $
Trovare le dimensioni dei due spazi vettoriali
Forse non ti è chiaro cosa significa "dimensione", ma ti perdono perché è il tuo cake day.
Ora ho capito cosa intendi, ma non capisco cosa c'entri. Un conto è la dimensione di uno spazio vettoriale, e un altro è la dimensione di un altro spazio di cui esso è eventualmente un sottospazio.
Tu dici
Quel che ho capito io è: due spazi possono avere dimensione uguale ma avere basi con vettori aventi un diverso numero di elementi; è chiaramente falso.
Quel che intendevi è che un sottospazio di dimensione 2 può stare in $K^3$ o in $K^4$; sì, è allora? La rappresentazione in coordinate mica è canonica; un piano in $K^3$ e un piano in $K^4$ sempre di dimensione 2 sono, anche se nel primo caso bastano meno equazioni a descrivere lo spazio.
Tu dici
due spazi possono avere dimensione uguale ma avere basi con vettori aventi un diverso numero di componenti.
Quel che ho capito io è: due spazi possono avere dimensione uguale ma avere basi con vettori aventi un diverso numero di elementi; è chiaramente falso.
Quel che intendevi è che un sottospazio di dimensione 2 può stare in $K^3$ o in $K^4$; sì, è allora? La rappresentazione in coordinate mica è canonica; un piano in $K^3$ e un piano in $K^4$ sempre di dimensione 2 sono, anche se nel primo caso bastano meno equazioni a descrivere lo spazio.
"Bokonon":
Ma $f$ è un isomorfismo?
La risposta a questa domanda, in particolare, è no, ma lo è sulla sua immagine, che è la cosa che conta.
"caulacau":
La risposta a questa domanda, in particolare, è no, ma lo è sulla sua immagine, che è la cosa che conta.
Dai suvvia...
Adesso non solo la dimensione di uno spazio vettoriale è a tiramento di c. ma pure la definizione isomorfismo.
Ma dove hai studiato? Sul manuale delle giovani marmotte?
Isomorfismo: $ f@ f^(-1)=Id $ e $ f^(-1)@f=Id $
Nel caso che ho proposto la matrice F associata ad $f$ è $mxn$ con $Rk(F)=n$ quindi non è invertibile. Punto.
Però volendo giocare un poco posso affermare che posso trovare una matrice tale che $XF=I$ ovvero la pseudoinversa.
Per la precisione $X=(F^TF)^(-1)F$
Tradotto: andando a V in W restringo il codominio e posso mapparlo all'indietro.
Ovvio che non posso fare il contrario perchè $FX=F(F^TF)^(-1)F!=I$ un altro modo per dire che non esiste $f^(-1)$
Però è interessante capire il perchè...suggerimento: $FX=F(F^TF)^(-1)F$ è una matrice di proiezione ortogonale, di cosa?
Dai che impari qualcosa
"caulacau":
Ora ho capito cosa intendi, ma non capisco cosa c'entri. Un conto è la dimensione di uno spazio vettoriale, e un altro è la dimensione di un altro spazio di cui esso è eventualmente un sottospazio.
"Bokonon":
[quote="albalonga"]due spazi n-dimensionali (entrambi n-dimensionali)
Cosa vuol dire esattamente?[/quote]
"albalonga":
Volevo solamente chiedere se due spazi n-dimensionali fossero sempre isomorfi tra loro, nient'altro
Ma perchè credi che abbia posto la domanda?
La dimensione di uno spazio vettoriale è una definizione.
Prendi il teorema di rango + più nullità: funziona anche sono due spazi completamente diversi e con basi aventi un numero di componenti diverse. Dobbiamo riscriverlo?
Non credo tu debba insegnare a me cos'è un isomorfismo, semmai il contrario.
Dall'inizio.
La risposta è sì: questo quadrato è commutativo e fatto di isomorfismi (la freccia tratteggiata è definita come composizione delle altre tre)
Tu hai risposto quanto segue:
Credevo tu avessi scritto quanto segue: prendi $V\subset R^n$, e prendi un sottospazio di $R^m$ (con $m > n$) anche lui di dimensione $n$; c'è almeno una ovvia funzione lineare e iniettiva $f : V \to R^m$ che ha $W$ per immagine. Essa non è un isomorfismo, ma lo è quando sia coristretta a $W$.
Dall'inizio.
Volevo solamente chiedere se due spazi n-dimensionali fossero sempre isomorfi tra loro, nient'altro
La risposta è sì: questo quadrato è commutativo e fatto di isomorfismi (la freccia tratteggiata è definita come composizione delle altre tre)
[tex]\xymatrix{
V\ar[d]\ar@{.>}[r] & W \ar[d]\\
K^n \ar[r] & K^n
}[/tex]
V\ar[d]\ar@{.>}[r] & W \ar[d]\\
K^n \ar[r] & K^n
}[/tex]
Tu hai risposto quanto segue:
Prendiamo due spazi vettoriali $ V sube R^n $ e $ W sube R^m $ con $m>n$Tuttora non ho idea di che cosa c'entri, o di cosa pensi di aver provato in questo modo: a rileggere con attenzione non ho nemmeno idea di cosa tu abbia scritto davvero: $V$ è un sottospazio di $R^n$; ma ha dimensione $n$ (prima non mi ero accorto di questo clash di notazione); da cosa segue che $f : V \to W$ sia iniettiva di preciso? Lo hai deciso tu, l'hai imposto?
Inoltre assumiamo che $dim(V)"="n$.
Data una applicazione $f: V->W$ tale che $Ker(f)={0}$, segue che è iniettiva pertanto $dim(W)"="dim(V)"="n$
Quindi abbiamo due spazi di uguali dimensioni, come da tua ipotesi.
Ma $f$ è un isomorfismo?
Credevo tu avessi scritto quanto segue: prendi $V\subset R^n$, e prendi un sottospazio di $R^m$ (con $m > n$) anche lui di dimensione $n$; c'è almeno una ovvia funzione lineare e iniettiva $f : V \to R^m$ che ha $W$ per immagine. Essa non è un isomorfismo, ma lo è quando sia coristretta a $W$.
"caulacau":
rileggere con attenzione non ho nemmeno idea di cosa tu abbia scritto davvero: $V$ è un sottospazio di $R^n$; ma ha dimensione $n$ (prima non mi ero accorto di questo clash di notazione)
LOL, quel simbolino significa "contenuto o uguale a" è semplice insiemistica
"caulacau":
; da cosa segue che $f : V \to W$ sia iniettiva di preciso? Lo hai deciso tu, l'hai imposto?
Da $Ker(f)={0}$ e ne deduco che non sai nemmeno cosa sia un'applicazione iniettiva.
Guarda, io scendo qua, ti lascio delirare da solo. Ciao!
LOL, quel simbolino significa "contenuto o uguale a" è semplice insiemistica
Se \(V\subseteq R^n\) e $\dim V=n$ non può che essere $V=R^n$. Se poi non mi dici che dimensione ha $W$ non è possibile dedurre altro che $n \le \dim W$, e mi sembra che a parte scegliere $W$ in $R^m$ tu non ne abbia fissato la dimensione.
Una $f$ iniettiva da $V$ a un'altra parte, poi, è un isomorfismo sulla sua immagine, e anche questa è insiemistica.
da $Ker(f)={0}$ e ne deduco che non sai nemmeno cosa sia un'applicazione iniettiva.
Insomma, hai scritto talmente a **** che non penso di aver capito una sola parola; cosa vuoi provare a confutare, di preciso?
@bokonon
non ho capito cosa intendi con quell'esempio.
Io intendevo che due spazi aventi la stessa dimensione nelle varie combinazioni lineari compaiono al più lo stesso numero di scalari, non parlo della lunghezza della stringa(nel caso di $k^n$)
di fatto $L(x[(1),(0)]+y[(0),(1)])=x[(1),(0),(0)]+y[(0),(1),(0)]$ è un isomorfismo di $RR^2$ con il piano generato dai due vettori di $RR^3$
non ho capito cosa intendi con quell'esempio.
Io intendevo che due spazi aventi la stessa dimensione nelle varie combinazioni lineari compaiono al più lo stesso numero di scalari, non parlo della lunghezza della stringa(nel caso di $k^n$)
di fatto $L(x[(1),(0)]+y[(0),(1)])=x[(1),(0),(0)]+y[(0),(1),(0)]$ è un isomorfismo di $RR^2$ con il piano generato dai due vettori di $RR^3$
@Anto, ma stai parlando di questo?
Perchè se è così, allora il post riguardava solo il concetto di dimensione di uno spazio vettoriale e non il tema del thread.
"Bokonon":
$ V={( ( 1 ),( 0 ) ), ( ( 0 ),( 1 ) )} $
$ W={( ( 1 ),( 0 ),( 0 ) ) , ( ( 0 ),( 1 ),( 0 ) )} $
Trovare le dimensioni dei due spazi vettoriali
Perchè se è così, allora il post riguardava solo il concetto di dimensione di uno spazio vettoriale e non il tema del thread.
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