Esercizio su iniettività,suriettività

[giulio013]

Sia $ f : R^(3) -> R^(3) $ l'applicazione lineare tale che $f(x,y,z) = (2x, x-2y,2y-z)$
(i) Dire se f `e iniettiva e suriettiva.

Vorrei avere un confronto con voi con i mie passaggi.

i) Riscrivo la matrice $ ( ( 2 , 1 , 0 ),( 0 , -2 , 2 ),( 0 , 2 , -1 ) ) $
Calcolo il determinante e questo è diverso da 0 quindi è invertibile quindi il nucleo è uguale a 0, se il nucleo è uguale a 0 comporta che l'immagine è uguale a 3 quindi è anche suriettiva.

P.S. riscrivere la matrice come $(( 2, 0, 0),( 1, -2, 0), ( 0, 2, -1))$ sarebbe la stessissima cosa????

[giulio013]

up

[Bokonon]

"giulio0":
P.S. riscrivere la matrice come $(( 2, 0, 0),( 1, -2, 0), ( 0, 2, -1))$ sarebbe la stessissima cosa????

Sarebbe meglio visto che l'applicazione è questa:
$(( 2, 0, 0),( 1, -2, 0), ( 0, 2, -1))( ( x ),( y ),( z ) ) =( ( 2x ),( x-2y ),( 2y-z ) )$

Ai fini del problema invece non cambia nulla. Dovevi dimostrare che la funzione è invertibile e l'hai fatto.

[anto_zoolander]

In realtà vanno bene entrambe l’unica differenza è data da come preferisci fare i prodotti negli omomorfismi; le due matrici sono una la trasposta dell’altra e puoi usare quella che preferisci in base a come ti piace svolgere i prodotti tra matrice e vettore

- prodotto vettore riga per la matrice -> va bene la prima

- prodotto matrice per vettore colonna -> va meglio la seconda

Questo perché se una applicazione la scrivi come $Y=AX$ allora trasponendo tutto ottieni $Y^t=X^tA^t$

Andando all’esercizio; se i prodotti li hai fatti come $((x,y,z))*((2,1,0),(0,-2,2),(0,2,-1))$ è corretto

PS: nella prima matrice c’è un $2$ in più nella posizione $2ª$ riga, $3ª$ colonna.