Isomorfismo gruppo fondamentale prodotto

[anto_zoolander]

Ciao!

Ho qualche dubbio sulla seguente dimostrazione

siano $X,Y$ due spazi connessi per archi; dimostrare che

- lo spazio prodotto è connesso per archi
- $pi(XtimesY)congpi(X)timespi(Y)$

metto sotto spoiler la prima parte della dimostrazione, sulla quale sono parzialmente sicuro.

1)se $(x_1,y_1)$ e $(x_2,y_2)$ sono due punti allora avremo gli archi $alpha:[0,1]->X$ e $beta:[0,1]->Y$ connettono, nell'ordine, i punti $x_1,x_2$ e $y_1,y_2$

il cammino $varphi(t)=(alpha(t),beta(t))$ è un arco che connette i punti $(x_1,y_1)$ e $(x_2,y_2)$ infatti è anche continua poichè le componenti lo sono

2)essendo connesso per archi è indifferente il punto scelto quindi non lo specifico, con $p_X,p_Y$ denoto le proiezioni, $alpha:=alpha(t)$, $beta:=beta(t)$ sono archi e $equiv$ la relazione di omotopia tra cammini

definisco $f(overline(alpha))=(overline(p_Xcircalpha),overline(p_Ycircalpha))$ con $f:pi(XtimesY)->pi(X)timesP(Y)$

è un omomorfismo di gruppi
$f(overline(alpha)*overline(beta))=f(overline(alpha*beta))=(overline(p_Xcircalpha*beta),overline(p_Ycircalpha*beta))=(overline(p_Xcircalpha)*overline(p_Xcircbeta),overline(p_Ycircalpha)*overline(p_Ycircbeta))=$

$=(overline(p_Xcircalpha),overline(p_Ycircalpha))*(overline(p_Xcircbeta),overline(p_Ycircbeta))$

la parte $fcircalpha*beta=fcircalpha*fcircbeta$ è motivata dal fatto che

$fcircalpha*beta(t)={(f(alpha(2t)):=fcircalpha(2t), t in [0,1/2]),(f(beta(2t-1))=fcircbeta(2t-1), t in [1/2,1]) :}=fcircalpha*fcircbeta(t)$

la seconda invece dal fatto che il prodotto in un gruppo prodotto è definito in questo modo

è suriettiva
per questo basta notare che se $(overline(alpha_X),overline(alpha_Y)) in pi(X)timespi(Y)$ allora l'arco $alpha:=(alpha_X,alpha_Y)$ è un arco su $XtimesY$ per cui $p_X(alpha)=p_X(alpha_X,alpha_Y)=alpha_X$ e $p_Y(alpha)=alpha_Y$

è iniettiva
se $f(overline(alpha))=f(overline(beta))$ allora $p_Xcircalphaequivp_Xcircbeta$ e $p_Ycircalphaequivp_Ycircbeta$

per tanto se $F_X:[0,1]times[0,1]->X$ e $F_Y:[0,1]times[0,1]->Y$ sono, nell'ordine, le omotopie relative a ${0,1}$ allora

$F:[0,1]times[0,1]->XtimesY$ deinita come $F(s,t)=(F_X(s,t),F_Y(s,t))$

è un'omotopia relativa a ${0,1}$ tra $alpha,beta$

di fatto la continuità è data banalmente dalla continuità delle componenti

$F(s,0)=(F_X(s,0),F_Y(s,0))=(p_Xcircalpha,p_Ycircalpha)$

$F(s,1)=...=(p_Xcircbeta,p_Ycircbeta)$

l'essere una omotopia relativa si dimostra allo stesso modo.

Sono perplesso per il fatto che possa essere

$alpha=(p_Xcircalpha,p_Ycircalpha)$

lo giustificherei considerando che se $Q in XtimesY$ allora esistono $x inX,y inY$ per cui $Q=(x,y)$ per cui $p_X(Q)=p_X(x,y)=x$ e idem per $y$, penso sia sufficiente.

[apatriarca]

Si tratta praticamente della proprietà universale del prodotto. Hai tre morfismi \( \alpha \colon S^1 \to X \times Y, \) \( \alpha_1 = p_1 \circ \alpha \) e \( \alpha_2 = p_2 \circ \alpha. \) La proprietà universale del prodotto dice che esiste un unico morfismo \(\alpha_1 \times \alpha_2 \) per cui \( \alpha_1 = p_1 \circ (\alpha_1 \times \alpha_2) \) e \( \alpha_2 = p_2 \circ (\alpha_1 \times \alpha_2) \) per cui \( \alpha = \alpha_1 \times \alpha_2. \)

In alternativa puoi semplicemente osservare che ogni punto del prodotto di spazi topologici è una coppia di punti dei due spazi originali. Per cui ovviamente qualsiasi punto \( f(t) = (f_1(t), f_2(t)) \) ed \(f_1(t) = p_1 \circ f\) e \(f_2(t) = p_2 \circ f.\)

EDIT: Ho rimosso l'uso di \(\pi\) per le proiezioni del prodotto che creano solo confusione in questo contesto.

[caulacau]

Ma non vale il vecchio adagio che

Questa misteriosa "proprietà universale" mi pare sia esattamente la cosa che bisogna dimostrare.

Più formalmente, \(\text{Ho}(\mathbf{Top})\) ha prodotti, e quindi \(\pi_n = [S^n,-] = \hom_{\text{Ho}(\mathbf{Top})}(S^n,-)\) vi commuta, perché ogni \(\hom_\mathcal{C}\) è continuo per tutte le shape di limite che \(\mathcal C\) ammette.

[apatriarca]

Credo tu abbia frainteso quello che ho scritto. Ho usato \(\pi\) per le proiezioni del prodotto senza pensare che è già usato per il gruppo fondamentale. Stavo rispondendo solo all'ultima parte in cui si chiedeva se era opportuno supporre che un cammino si possa scomporre nelle sue due componenti nel prodotto.