Geometria e Algebra Lineare

Salve, un esercizio standard dove però non riesco a trovare l'inghippo. Trovare l'equazione del piano che contiene la retta $ r : x+y=0 , y-z=0 $ e passante per il punto $ A (1,0,1) $ Il mio ragionamento era stato quello di scrivere la retta in forma parametrica, e si trova facilmente che la direzione è $ [-1,1,1]^T $ , per poi costruire il vettore AP, con P punto generico del piano di coordinate x,y,z e successivamente di imporne la perpendicolarità rispetto a un vettore perpendicolare ...

Salve ragazzi, mi accosto di nuovo dopo tanto tempo alla matematica universitaria, ed iniziano a sorgere i primi dubbi sugli esercizi che svolgo, non avendo un riferimento a cui chiedere magari potete rispondermi: dati i vettori x=[k 1 k] y=[2 k 1] z=[2 2 0] con k reale, determinare se i vettori sono dipendenti o indipendenti al variare di k... Ora, premesso che nn ho ancora studiato le matrici, ho messo a sistema i 3 vettori con le incognite x, y e z. quindi ho risolto il sistema: kx +2y ...

salve ragazzi, potreste darmi una mano con questo esercizio? Dato un campo Z7 trovare l'elemento $ x=3^-1*(2-5) $ . non ho ben capito come svolgere la differenza tra parentesi.

Ciao a tutti, sono alle prese con il seguente esercizio: Sia $phi$ un prodotto scalare su $mathbb{R}^5$ con segnatura $sigma=(3, 2,0)$ . Sia $W$ un sottospazio, determinare al variare della dimensione di $W$ la segnatura di $phi$ ristretto $W$. Ora ho studiato abbastanza agilmente fino a $dimW=3$. I problemi mi nascono alla dimensione 4. Per fare un esempio, senza entrare in tutti casi, secondo me non può ...

Considerando: $ f( ( 1 ),( 2 ),( k ) ) = ( ( 2+k ),( 3 ),( 0 ) ) $ , $ f( ( 2 ),( k+1 ),( -1 ) ) = ( ( 1 ),( 1 ),( -2 ) ) $ , $ f( ( -3 ),( 1 ),( 5 ) ) = ( ( 1 ),( k ),( 2 ) ) $ con $ f_k : R^3 rarr R^3 $ e $ k in R $. Per ogni k determinare quante sono le $ f_k $. Già alla richiesta vado in difficoltà. Mi sta chiedendo di trovare per quali valore di k, le tre funzioni sopra elencate mi rispettano l'endomorfismo, giusto? Se si, dovrei quindi trovare qualcosa del tipo $ f( ( x ),( y ),( z ) ) = ( ( x ),( y ),( z ) ) $ , cioè applicazioni chiuse in se stesse, le cui immagini appartengono al dominio (credo). Com'è ...

Ciao a tutti, ho un grosso dubbio riguardo la relazione (se esiste una relazione) fra l'applicazione Trasposta T' di una applicazione lineare T:V-->W e l'applicazione aggiunta di T, T*. In particolar modo il mio libro introduce inizialmente l'applicazione trasposta T' legata a T quando parla degli spazi duali e afferma che il nome che si dà a questa particolare applicazione è dovuto al fatto che fissata una base su V, e dunque una matrice A che rappresenta l'applicazione lineare T, allora la ...

Salve a tutti, Avrei bisogno di un aiuto per quanto riguarda la risoluzione di un esercizio sui sottospazi vettoriali, di preciso: Sia $W(k) = \{ (x, y, z,t) in RR^4 :\ x = y + z + t + k * yzt \}$. Determinare per quali $k in RR$ l'insieme $W(k)$ è un sottospazio di $RR^4$. Grazie mille in anticipo!

Ciao! devo dimostrare la seguente cosa sia $(X,T)$ uno spazio topologio e sia ${K_n}_(n in NN)$ una famiglia decrescente di compatti chiusi, allora $bigcap_(n in NN)K_n ne emptyset$ io lo dimostrerei così; se per assurdo fosse $bigcap_(n in NN)K_n=emptyset$ allora $bigcup_(n in NN)K_n^c=X$ e quindi $bigcup_(n in NN)(K_1capK_n^c)=K_1capbigcup_(n in NN)K_n^c=K_1capX=K_1$ quindi essendo $K_n^c$ aperto in $X$ si ottiene che ${K_1capK_n^c}_(n in NN)$ è un ricoprimento aperto di $K_1$. Per la compattezza di $K_1$ esistono ...

Ciao a tutti, mi aiutate a svolgere questo esercizio: Ho la base B=((1,0,0),(0,1,1),(1,-1,1)) B*=((0,1,0),(0,0,1),(1,0,0)) Ed un endomorfismo : $f:(x_1,x_2,x_3) R^3———->(2x_1,x_2-x_3,-x_3)€R^3$ Devo determinare la matrice associata a f fissando nel dominio e nel condominio la stessa base ordinata B e quella associata a f fissando nel dominio e nel condominio la stessa base ordinata B* Mi chiedevo per calcolarmi la matrice associando posso calcolarmelo andando a sostituire le componenti della base B nell’endomorfismo?

Ciao. Siano \( \left(X_1,\tau_1\right) \) e \( \left(X_2,\tau_2\right) \) due spazi topologici, ed \( f\colon X_1\to X_2 \) una funzione biiettiva. Voglio provare che \( f \) è un omeomorfismo se e solo se \( f_{*}\tau_1=\tau_2 \). Utilizzerò il risultato che compare in questo post. Dimostrazione. Sia \( f_{*}\tau_1=\tau_2 \), e si consideri un aperto \( U \) di \( X_2 \); abbiamo (dato che \( f \) è suriettiva) \( f_{*}f^{*}U=U \) e quindi, per il risultato precedente, la ...

Ciao. Mi sono bloccato da un bel po' su questa dimostrazione. (Chiedo scusa per le immagini, ma mi seccava troppo riscrivere il tutto). Nello spazio (affine) euclideo \( \mathbb{E}\left(\mathbb{R}^3\right) \) vale la seguente. Perché \( 0 \) è l'unico vettore che soddisfa a ciò? Inoltre, andando avanti Da dove arrivano \( u \), \( v \) e \( n \)?

Buonasera a tutti, non ho ben chiaro come calcolare il prodotto tensoriale tra due vettori di n componenti; ho cercato su internet ma non trovo un esempio pratico su cosa debba fare esattamente. Grazie in anticipo a chi mi aiuterà .

Ciao! sia $X=bigcup_((a,b)in ZZ^2){(x,y) in RR^2| ax=by}$ dimostrare che $X$ è connesso ma non localmente connesso la connessione è facile; scritto $X=bigcup_(q in QQ){(x,qx)in RR^2|x in RR}cup{(0,x) in RR^2|x in RR}$ pongo $r_q:={(x,qx) in RR^2|x in RR}$ e $r={(0,x) in RR^2|x in RR}$ $r$ è banalmente omeomorfo ad $RR$ quindi connesso Inoltre essendo $r_q$ il grafico della funzione $f_q(x)=qx$ si ha che $r_q$ è chiuso nel prodotto e omeomorfo ad $RR$, quindi al variare di $q$ le rette ...

$ F_h :{ ( 2x_1 + hx_2 + 4x_3 + 2(h-1)x_4 = 5h ),( (h-1)x_1 + 3x_2 + 2(h-1)x_3 + 9x_4 = 1-7h ):} $ Trovare $ m_1 , m_2 in mathbb{N} $ e $ h_0 in mathbb{R} $ tali che $ dim (F_h) = m_1 $ per $ h != h_0 $ e $ dim(F_(h_0)) = m_2 $ Ho provato a risolvere il sistema lasciando oltre h, due parametri liberi, esplicitando per $ x_1 $ ed $ x_2 $ per esempio; così facendo sarei passato ad una forma parametrica del sottospazio affine, ma i calcoli mi hanno bloccato. Ho poi provato ad imporre la prima equazione omogenea, multiplo dell'altra (sempre l'omogenea) attraverso ...

Buongiorno a tutti, mi chiamo Davide e sto preparando l'esame di scienza delle costruzioni. Sono uno studente lavoratore (un po avanti con gli anni) e confesso di essere un po arrugginito. Mi sono imbattuto in un sistema lineare non omogeneo di cui non mi tornano i risultati indicati sul testo; penso o spero perchè non ricordo alcuni trucchi. Spero mi possiate dare un instrademento verso la comprensione del mio errore. Il sistema è il ...

Buongiorno a tutti! Sia \(f\) un tensore rango \(k\) su uno spazio vettoriale \(V\) di dimensione \(n\). Data una base \((e_i)\) di \(V\), mi viene detto che \(f\) viene completamente determinato dai valori che assume su ogni \(k\)-tupla \((e_{i_1},...,e_{i_{k\le n}})\). In particolare, se \(f\) è alternante, basta considerare le tuple con multi-indici ascendenti. Purtroppo questi fatti non mi risultano ovvi. Qualcuno riesce a chiare queste affermazioni per me?

Ciao a tutti! Voglio ricavare l'equazione cartesiana del sottospazio $W$ delle matrici 2 x 2 generato da $W=Span {( ( 1 , 2 ),( 0 , 1 ) ), ( ( 1 , 0 ),( 0 , 1 ) ), ( ( 0 , -1 ),( -1 , 0 ) ) }$ È corretto considerare i vettori $(1,2,0,1),(1,0,0,1),(0-1,-1,0)$, metterli in una matrice aggiungendo la riga $(a,b,c,d)$ e porre il determinante uguale a zero? Mi risulta una equazione con 4 incognite ($2a+2b-2c+d=0$) e ciò dovrebbe essere coerente con la dimensione di $W$ che è $3$, giusto?

Buongiorno, ho visto questa discussione e anche se è conclusa da diversi anni ho ritenuto avesse senso ricollegarmi alla domanda. Ho letto il documento matrixdifferentation che dimostra tutte le relazioni relative alla derivazione delle forme quadratiche e ho compreso i passaggi. Il dubbio che mi resta sicuramente dal vostro punto di vista banale è: posso presa la generica forma quadratica x’Ax utilizzare un metodo di derivazione classico senza dover riscrivere le sommatorie e derivare su quelle ...

Determinare la molteplicità m di i come radice di $ p(z)= iz^4 + 3z^3 +(1-2i) z^2+ (1-2i)z - (1+i) $ ed il quoziente $ q(z) $ della divisione $ p(z) : (z-i)^m $. Cosa si intende per "molteplicità di i" ? Determinare le radici del polinomio complesso tale che p(i)=0 ? Aiuto, per favore.

ciao! ho il seguente esercizio che sembra difficilotto sia $(X,d)$ uno spazio metrico completo e sia $A$ un sottoinsieme aperto. Dimostrare che esiste una metrica $h$ su $A$ tale per cui $(A,h)$ sia completo e induca la topologia di sottospazio ho cominciato ragionando sul primo punto chiedendomi che proprietà dovesse rispettare una possibile metrica. Pensando ad un esempio suggerito come hint, ...