Esercizio spazi quoziente e omeomorfismi
Buongiorno, avrei bisogno di una mano riguardo l’ultima parte di un esercizio:
In pratica ho due relazioni di equivalenza, una definita su $mathbb{R}^2$ da $ xRy \leftrightarrow x_2-x_1^2=y_2-y_1^2$ e l’altra indotta dalla funzione $f:\mathbb{R}^2 \rightarrow \mathbb{R}$, $f(x)=x_2-x_1^2$ definita da $xR_f y \leftrightarrow f(x)=f(y)$.
Ho dimostrato che f è un’identificazione (mediante un Teorema mi è bastato mostrare che f è suriettiva, continua e aperta). Ho mostrato anche che le due relazioni di equivalenza sopra definite coincidono, e dunque che gli spazi quoziente ottenuti “quozientando” $\mathbb{R}^2$ rispetto le due relazioni sono omemorfi.
La richiesta conclusiva che non riesco a decifrare è di dimostrare che $\mathbb{R}^2//R$ è omeomorfo a $mathbb{R}$.
Sicuramente mi basta mostrare che $\mathbb{R}^2//R_f$ è omemorfo a $mathbb{R}$ usando il fatto che f è identificazione. Ed è questo che non riesco a fare. Accetto gentilmente consigli
In pratica ho due relazioni di equivalenza, una definita su $mathbb{R}^2$ da $ xRy \leftrightarrow x_2-x_1^2=y_2-y_1^2$ e l’altra indotta dalla funzione $f:\mathbb{R}^2 \rightarrow \mathbb{R}$, $f(x)=x_2-x_1^2$ definita da $xR_f y \leftrightarrow f(x)=f(y)$.
Ho dimostrato che f è un’identificazione (mediante un Teorema mi è bastato mostrare che f è suriettiva, continua e aperta). Ho mostrato anche che le due relazioni di equivalenza sopra definite coincidono, e dunque che gli spazi quoziente ottenuti “quozientando” $\mathbb{R}^2$ rispetto le due relazioni sono omemorfi.
La richiesta conclusiva che non riesco a decifrare è di dimostrare che $\mathbb{R}^2//R$ è omeomorfo a $mathbb{R}$.
Sicuramente mi basta mostrare che $\mathbb{R}^2//R_f$ è omemorfo a $mathbb{R}$ usando il fatto che f è identificazione. Ed è questo che non riesco a fare. Accetto gentilmente consigli
Risposte
"manuelb9393":
$f:\mathbb{R}^2 \rightarrow \mathbb{R}$ è un’identificazione
Cosa vuol dire essere un'identificazione (o per lo meno a cosa è equivalente che in questo caso può essere utile)?
Hai una mappa canonica \(\mathbb R^2/R_f \to \mathbb R\), indotta da $f$; questa è un omeomorfismo (inizia col dimostrare che è biiettiva).
"otta96":
[quote="manuelb9393"] $f:\mathbb{R}^2 \rightarrow \mathbb{R}$ è un’identificazione
Cosa vuol dire essere un'identificazione (o per lo meno a cosa è equivalente che in questo caso può essere utile)?[/quote]
Abbiamo definito un’identificazione come un’applicazione tra spazi topologici che sia suriettiva e continua per cui l’insieme di arrivo sia dotato di una topologia che coincide con la topologia quoziente indotta dalla funzione stessa, ossia i cui aperti sono quegli insiemi per cui la contrimmagine mediante le funzione stessa è un aperto dello spazio di partenza.
"caulacau":
Hai una mappa canonica \( \mathbb R^2/R_f \to \mathbb R \), indotta da $ f $; questa è un omeomorfismo (inizia col dimostrare che è biiettiva).
Esatto, ho fatto esattamente questo: per l’iniettività ho usato la definizione mentre la suriettività segue dal fatto che f è suriettiva.
Essendo più preciso quindi non sono riuscito a mostrare che una mappa siffatta sia continua con inversa continua oppure che sia continua e aperta/chiusa.
La funzione l’ho definita così $h([x])=f(x)$. È forse sbagliato il modo di definirla"?
"manuelb9393":
Abbiamo definito un’identificazione come un’applicazione tra spazi topologici che sia suriettiva e continua per cui l’insieme di arrivo sia dotato di una topologia che coincide con la topologia quoziente indotta dalla funzione stessa, ossia i cui aperti sono quegli insiemi per cui la contrimmagine mediante le funzione stessa è un aperto dello spazio di partenza.
Quindi puoi dimostrare che una funzione continua è un'identificazione se e solo se la mappa indotta al quoziente è un omeomorfismo sull'immagine.
Non ho ben capito cosa intendi per “mappa indotta al quoziente”. Inoltre non ho presente cosa sia un omeomorfismo sull’immagine, a meno che non sia ciò che l’intuito lascia pensare. Cioè si intende che data $f:X\rightarrowY$ si ha $X$ omemomorfo a $Im(f)$?
Ogni funzione $f:X->Y$ definisce una mappa $\tilde{f}:X/~->Y$ dove $~$ è la relazione tale che $AAx,y\inX, x~y<=>f(x)=f(y)$.
Negli spazi topologici se la funzione di partenza era continua anche la mappa indotta al quoziente lo è.
Inoltre il motivo per cui si introducono le identificazioni è che una funzione continua è un'identificazione se e solo se la mappa indotta è un'omeomorfismo con l'immagine (si, vuol dire proprio ciò che l’intuito lascia pensare).
Negli spazi topologici se la funzione di partenza era continua anche la mappa indotta al quoziente lo è.
Inoltre il motivo per cui si introducono le identificazioni è che una funzione continua è un'identificazione se e solo se la mappa indotta è un'omeomorfismo con l'immagine (si, vuol dire proprio ciò che l’intuito lascia pensare).
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