Geometria e Algebra Lineare
Discussioni su problemi, esercizi e teoremi che riguardano la geometria, l'algebra lineare e la topologia
Domande e risposte
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Sia $V$ uno spazio vettoriale euclideo reale dotato del prodotto scalare standard, e sia $\mathcal{B}=\{b_1,b_2,b_3\}$ una sua base ortonormale. Si consideri poi il sottospazio $S$ di $V$ generato dal vettore $b_1-b_2$. Determinare una base ortonormale del complemento ortogonale $S^{\perp}$. Sicuramente ha dimensione 2 questo complemento ortogonale. Inoltre so per certo che un vettore ortonormale della sua base è $b_3$. Mi manca di ...
Ciao!
Sapete dove posso trovare una dimostrazione per la seguente affermazione?
se $CsubsetRR^n$ è non vuoto convesso e compatto allora $partialC$ è omeomorfo alla sfera $n-$dimensionale
Ammesso che sia vero.
Si consideri il sottospazio vettoriale W = ((1, 0, 1, −2),(1, 2, 0, −2),(−1, 2, −2, 2)) dello spazio vettoriale
numerico $R^4$.Determinare:
(i) una base di W;
(ii) una base di $R^4$ che contenga una base di W;
(iii) un sottospazio vettoriale di $R^4$ che abbia dimensione 2 e intersezione nulla con W.
Vorrei un confronto con voi ragazzi:
(i) Scrivo la matrice associata dei tre vettori e riduco con Gauss:
$(( 1, 1, -1), ( 0, 2, 2), ( 0, 0, 0), ( 0, 0, 0))$
la base di $B(W) = { a_1v_1, a_2v_2}$ ovvero ...
Buonasera mi aiutate a risolvere questo esercizio:
Fissato un riferimento cartesiano dello spazio della geometria elementare, si considerino le rette
s : $ { ( x-y+z=1 ),( x+y+x= -1 ):} $
r:=(0,1,1)+(1,1,0)t.
(a) Le rette s ed r sono sghembe? ◦ Si ◦ No Perch ́e? (b) Determinare una retta ortogonale sia a s sia a r.
(c) Determinare un piano parallelo sia a r sia a s.
La retta e sghemba quando non è né incidente ne parallela
Per verificare che non è parallela scrivo la retta e in forma parametrica mentre ...
Quali dei seguenti sottoinsiemi di $R^4$ sono linearmente indipendenti e perché? Completare i sottoinsiemi
linearmente indipendenti in una base di $R^4$
$X = {(x1, x2, x3, x4) ∈ R^4: x^2_1 + x^2_2 = 0}$
Ciao ragazzi vorrei avere un confronto con voi per capire se ho svolto l'esercizio nel giusto modo:
trovo il una base di X sapendo che $x^2_1 = -x^2_2$
$(-x_2, x_2,x_3, x_4) => B ={x_2(-1,1,0,0),x_3(0,0,1,0),x_4(0,0,0,1)}$
la base è:
$<(-1,1,0,0),(0,0,1,0),(0,0,0,1)>$
ed è completata ad $R^4$ aggiungendo il vettore della base canonica (0,1,0,0)?
Ciao ragazzi, voi come rispondereste a questo quesito? "scrivere il polinomio (1+x)^3 e la sua derivata 3(1+x)^2 come combinazione lineare dei polinomi 1,x, x^2 e x^3".
Salve, mi è stato esposto questo tipo di problema ma non capisco come impostarlo.
Sia T la trasformazione lineare da R3 a R2 tale che:
T(1,0,-7)=(8,1), T(-1,1,-1)=(-7,-1), T(0,1,1)=(1,9).
1)Si diano equazioni di T rispetto alle basi naturali e a basi non naturali scelte a piacere.
2)Si trovino equazioni minime sia parametriche che cartesiane per il nucleo Ker(T).
GRAZIE in anticipo.
Buongiorno mi aiutateee
La prima è un sottospazio vettoriale perché contiene il vettore nullo se b=0 ma come ricavo dimensione e base?
La seconda non è un sottospazio vettoriale perché non contiene il vettore nullo
La terza e spazio vettoriale e l’ho trasformato in matrice e ho considerato le righe con i pivot.
Giusto?
Buongiorno, preparando l'esame di algebra lineare sono incappato in questo esercizio e non riesco a risolverlo:
Verificare che i tre vettori (0,1,1) (1,1,0) (1,0,1) formano una base di R^3 e fin qua tutto bene.
Il problema sorge quando chiede se esiste una base B di R^3 rispetto alla quale le coordinate del vettore (1,0,0) sono (1,3,1).
Grazie in anticipo per la risposta
Ciao a tutti,
sto provando a risolvere l'esercizio seguente, e come si evince dal testo il primo passo è ridurre la matrice a scala
ma nella pratica non riesco ad eliminare il parametro \(\displaystyle h \).
Come primo step ho eliminato il primo elemento della terza riga, -1, sommando alla terza riga la prima.
Quindi la terza riga diventa:
\(\displaystyle (0, 2 + h, 3) \)
Ora, per eliminare \(\displaystyle h \) ho provato a sommare alla terza riga la prima moltiplicata per ...
Ho il sottospazio dei polinomi di grado max. 3 $ X = {p(t)in R_(<=3)[t] : 3p(-1) -p'(1)=0} $ ed una sua base B $ B = ( ( 1 ),( t ),( 7t^2 ),( t^3 ) ) ( (2),(t),(4t^2),(t^3) ) ( ( -1 ),( 2t ),(5t^2 ),(-t^3) ) $ .
Ho poi una matrice $ A_k=( ( 4 , 3 , k+1),( k-2 , 1 , -4 ),( 10 , 8 , 4k+3 ) ) $ con $ kin R $ variabile.
L'esercizio mi dice che definita l'applicazione $ f_k:Xrarr X $ tale che $ [f_k]_B^B = A_k $ , determinare :
1) Il valore $ k_0 $ per il quale $ f_(k_0) $ non è iniettiva.
2) Esibire una base del nucleo di $ f_(k_0) $
3) Provare che $ −1 + 3t + 15t^2 $ appartiene a X e calcolare la sua immagine ...
. Fissato nello spazio della geometria elementare un riferimento cartesiano monometrico ortogonale,
si considerino la rette ${ ( x − 2y + z = 1 ),( 2x − y + 2z = −1 ):}$ e il piano $α : x − 2y + 2z − 3 = 0$ .
(i) Determinare la distanza tra r e α.
Vorrei sapere se ho fatto bene:
- Riscrivo in formula parametrica:
${(x = -z + 2t),(y = t),(z = -x + t/2):}$ -> sostituisco z ad x e viceversa -> ${(x = 0),(y = t),(z = 0):}$
- Sostituisco il punti trovati nell'equazione del piano e trovo:
$ 0 + -2t + 0 - 3 = 0 -> t = -3/2$
Concludo che che la distanza sia nulla perché ...
Sia $T : R^4 → R^3$ l’applicazione lineare tale che T((1, 1, 0, 0)) = (1, 2, 0), T((0, 1, 1, 0)) = (0, 1, −1),
T((0, 0, 1, 1)) = (1, 1, 1), T((0, 0, 0, 1)) = (0, 0, 0).
(i) Determinare una base di Ker(T) e una base di Im(T).
(ii) Scrivere la matrice associata a T nei riferimenti canonici di $R^4$ e di $R^3$.
Salve sono qui per un confronto e per alcuni dubbi:
(i)Nella traccia mi chiede di studiare la base del nucleo e dell'immagine, ma di quale matrice? Come vedete ...
Ciao a tutti, sto avendo difficoltà a comprendere questo teorema https://www.mediafire.com/view/o0df1hopdd7la5v/photo5771745471373619196.jpg/file, o meglio, non capisco l'ultima riga.
Alla penultima riga ci troviamo che (z1,...,zm) equivale a (B*A)*(x), ma non capisco perchè subito dopo dice C=B*A, ovvero toglie (x).
[La matrice C è la matrice del cambiameno di base di T [size=85]o[/size] S]
Qualche suggerimento? Grazie mille!
Determinare una base e la dimensione per ciascuno dei seguenti sottoinsiemi di $R^4$ che risulta essere un sottospazio vettoriale.
S = {α(1, −2, 1, 0) + β(0, 2, 1, 1) + (−1, 1, 1, 1) | α, β ∈ R}
T = {(a, ab, b, c) ∈ R4| a, b, c ∈ R}
W = {(a, b, c, d) ∈ R4| a + b = c + d = 0}
U = {α(1, −2, 1, 0) + β(0, 2, 1, 1) + γ(1, 1, 2, 1) ∈ R4| α, β ∈ R}
Salve mi piacerebbe avere un confronto con voi, quest'esercizio non so bene come affrontarlo.
Mi chiede di trovare le basi dei sistemi però a ...
Buonasera, vorrei chiedere un chiarimento su un esercizio. Il testo è il seguente:
Nello spazio euclideo tridimensionale \( \Re ^3 \) si consideri la retta passante per i punti A=(4,4,1) e B=(3,3,1). Si consideri il punto P=(3,3,1). Sia H la proiezione ortogonale di P sulla retta R.
La soluzione è "la somma delle coordinate di H vale 5.
allora innanzitutto per trovare la retta r applico la seguente formula:
\( \begin{cases} (x-x1)/(x2-x1)=(y-y1)/(y2-y1)\\ ...
Ciao, qualcuno ha idea di come si trovino le rette invarianti per la proiettività di $\mathbb{P}^3$ definita da questa matrice?
\begin{pmatrix}
0 & 1 & 0 & 0\\
1 &0 & 0 & 0\\
0&0&0&1\\
0&0&1&0\
\end{pmatrix}
Ho trovato i punti uniti, ma per questo non capisco come procedere.
Credo c'entri il teorema di Cayley-Hamilton e il trovare gli autospazi di dimensione 2 ma ho difficoltà, qualcuno sa come si potrebbe fare?
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