Esercizio base sottospazio vettoriale
Si consideri il sottospazio vettoriale W = ((1, 0, 1, −2),(1, 2, 0, −2),(−1, 2, −2, 2)) dello spazio vettoriale
numerico $R^4$.Determinare:
(i) una base di W;
(ii) una base di $R^4$ che contenga una base di W;
(iii) un sottospazio vettoriale di $R^4$ che abbia dimensione 2 e intersezione nulla con W.
Vorrei un confronto con voi ragazzi:
(i) Scrivo la matrice associata dei tre vettori e riduco con Gauss:
$(( 1, 1, -1), ( 0, 2, 2), ( 0, 0, 0), ( 0, 0, 0))$
la base di $B(W) = { a_1v_1, a_2v_2}$ ovvero i primi due vettori in colonna sono base di W
(ii) utilizzo la base calcolata precedentemente e l'associo alle basi canoniche di $R^4$ quindi:
$(( 1, 0, 1, -2), ( 1, 2, 0, -2), ( 0, 0, 0, 1), ( 0, 1, 0, 0))$
Verifico tramite il determinante che siano linearmente indipendenti e lo sono.
(iii) Riscrivo semplicemente le basi canoniche:
$(( 0, 0, 0, 1), ( 0, 1, 0, 0))$
numerico $R^4$.Determinare:
(i) una base di W;
(ii) una base di $R^4$ che contenga una base di W;
(iii) un sottospazio vettoriale di $R^4$ che abbia dimensione 2 e intersezione nulla con W.
Vorrei un confronto con voi ragazzi:
(i) Scrivo la matrice associata dei tre vettori e riduco con Gauss:
$(( 1, 1, -1), ( 0, 2, 2), ( 0, 0, 0), ( 0, 0, 0))$
la base di $B(W) = { a_1v_1, a_2v_2}$ ovvero i primi due vettori in colonna sono base di W
(ii) utilizzo la base calcolata precedentemente e l'associo alle basi canoniche di $R^4$ quindi:
$(( 1, 0, 1, -2), ( 1, 2, 0, -2), ( 0, 0, 0, 1), ( 0, 1, 0, 0))$
Verifico tramite il determinante che siano linearmente indipendenti e lo sono.
(iii) Riscrivo semplicemente le basi canoniche:
$(( 0, 0, 0, 1), ( 0, 1, 0, 0))$
Risposte
Punto 1): Una base di W è $[ ( 1 ),( 0 ),( 1 ),( -2 ) ] ,[ ( 1 ),( 2 ),( 0 ),( -2 ) ] $.
Punto 2): E' sbagliato. Devi anzitutto verificare che il sistema lineare omogeneo generato dai vettori di W ammetta come una unica soluzione il vettore nullo. Fatto questo, per generare una base di $RR^4$ devi aggiungere due vettori a W tali che i vettori siano mutuamente ortogonali. Una base di $RR^4$ è $ [ ( 1 ),( 0 ),( 1 ),( -2 ) ] ,[ ( 1 ),( 2 ),( 0 ),( -2 ) ],[ ( -2 ),( 1 ),( 2 ),( 0 ) ] ,[ ( 2 ),( 0 ),( 0 ),( 1 ) ] $.
Punto 3): Corretto
Punto 2): E' sbagliato. Devi anzitutto verificare che il sistema lineare omogeneo generato dai vettori di W ammetta come una unica soluzione il vettore nullo. Fatto questo, per generare una base di $RR^4$ devi aggiungere due vettori a W tali che i vettori siano mutuamente ortogonali. Una base di $RR^4$ è $ [ ( 1 ),( 0 ),( 1 ),( -2 ) ] ,[ ( 1 ),( 2 ),( 0 ),( -2 ) ],[ ( -2 ),( 1 ),( 2 ),( 0 ) ] ,[ ( 2 ),( 0 ),( 0 ),( 1 ) ] $.
Punto 3): Corretto
2) Scusami potresti dirmi le fonti per capire meglio cosa devo fare
Nessuna fonte: basta sfruttare il fatto che vettori ortogonali sono tra loro indipendenti
mmmh, capito. però anche quelli inseriti da me sono linearmente indipendenti fra loro
$[ ( 1 ),( 0 ),( 0 ),( 0 ) ] \cdot[ ( -2 ),( -2 ),( 1 ),( 0 ) ] =-2!= 0rArr $ non ortogonali $rArr$ non indipendenti.
EDIT: Ad essere precisi c'è anche da dire che vettori indipendenti possono anche non essere ortogonali, quindi non sempre vale questa implicazione, ma siccome $ -[ ( 1 , 0 , 1 ),( 1 , 2 , 0 ),( 0 , 1 , 0 ) ] =0 $ c'è dipendenza.
EDIT: Ad essere precisi c'è anche da dire che vettori indipendenti possono anche non essere ortogonali, quindi non sempre vale questa implicazione, ma siccome $ -[ ( 1 , 0 , 1 ),( 1 , 2 , 0 ),( 0 , 1 , 0 ) ] =0 $ c'è dipendenza.
Grazie, quindi mi basta fare il prodotto, ho capito bene?
Guarda l'edit.
cioè?
"giulio0":
mmmh, capito. però anche quelli inseriti da me sono linearmente indipendenti fra loro
cioè che i vettori della matrice che hai scritto non sono tra loro indipendenti.
Non ho capito cosa intendi per mutuamente ortogonali, intendi che devo fare il prodotto scalare? La matrice da me inserita restituisce come determinante -2 quindi un determinante diverso da zero e se il determinante è diverso da zero allora i vettori sono linearmente indipendenti
"giulio0":
Non ho capito cosa intendi per mutuamente ortogonali, intendi che devo fare il prodotto scalare? La matrice da me inserita restituisce come determinante -2 quindi un determinante diverso da zero e se il determinante è diverso da zero allora i vettori sono linearmente indipendenti
Se la matrice a cui ti riferisci è quella del punto ii), no.
si quella del punto due, ho controllato pure il rango ed è massimo quindi sono indi.
Convinto tu. In ogni caso, come ti ho fatto vedere, è sufficiente applicare il metodo di Laplace per verificare la dipendenza.
@Mobley
Temo che abbia ragione giulio0
@giulio0
la base per $R^4$ è ok, ma il determinante è -1...non -2
Il problema però è che non include i due vettori lin. indip. di W.
L'esercizio ti chiedeva di completare la base di W, non di trovare una base a capocchia
Temo che abbia ragione giulio0
@giulio0
la base per $R^4$ è ok, ma il determinante è -1...non -2
Il problema però è che non include i due vettori lin. indip. di W.
L'esercizio ti chiedeva di completare la base di W, non di trovare una base a capocchia
"Bokonon":
@Mobley
Temo che abbia ragione giulio0
Errore mio, ho rifatto i calcoli e avevo messo uno $0$ al posto di un $1$
Si, il determinante è $-1$ quindi sono indipendenti. In ogni caso la costruzione di una base di $RR^4$ che contiene W implica l'ortogonalità dei vettori che la compongono, quindi la base che ha scritto è sbagliata.
"mobley":
In ogni caso la costruzione di una base di $RR^4$ che contiene W implica l'ortogonalità dei vettori che la compongono
Ma non è vero Mobley!
Basta aggiungere due vettori che siano lin.idip. : non devono essere necessariamente perpendicolari.
Per esempio aggiungendo ai primi due vettori di W i vettori (0,0,1,-1) e (1,1,1,0) abbiamo una base di $R^4$ i cui vettori non sono mai perpendicolari a coppie.
"Bokonon":
[quote="mobley"]In ogni caso la costruzione di una base di $RR^4$ che contiene W implica l'ortogonalità dei vettori che la compongono
Ma non è vero Mobley!
Basta aggiungere due vettori che siano lin.idip. : non devono essere necessariamente perpendicolari.
Per esempio aggiungendo ai primi due vettori di W i vettori (0,0,1,-1) e (1,1,1,0) abbiamo una base di $R^4$ i cui vettori non sono mai perpendicolari a coppie.[/quote]
Hai ragione, mi sono espresso male, guarda il mio edit precedente
intendevo dire che verificare l'ortogonalita dei vettori è a mio avviso il modo più sicuro per far sì che la base di $RR^4$ lo sia effettivamente. Fatto sta che la base scritta è sbagliata.
"Bokonon":
Il problema però è che non include i due vettori lin. indip. di W.
L'esercizio ti chiedeva di completare la base di W, non di trovare una base a capocchia
In che senso? Io ho scritto che vettori linearmente indipendenti sono base di $W$
up
Accedi a tutti gli appunti
Tutor AI: studia meglio e in meno tempo