Geometria e Algebra Lineare
Discussioni su problemi, esercizi e teoremi che riguardano la geometria, l'algebra lineare e la topologia
Domande e risposte
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Salve avrei un esercizio da proporvi:
Avendo il piano $S: x_2 - x_3=0$ trovare una riflessione $\alpha$ attorno ad $S$ e la proiezione ortogonale $\beta$ di $S$; successivamente scrivere le matrici che rappresentino $\alpha$, $\beta$ e $\alpha \beta$ associate ai versori; e infine descrivere $\alpha\beta^(-1) (S)$
Se qualcuno mi potesse aiutare sia nella parte teorica che in quella pratica ne sarei ...
Buongiorno, avrei due problemi da sottoporvi a cui non so dare una risposta precisa.
1) Esiste un'applicazione lineare t.c. $f((0),(1)) = ((2),(4))$ e $f((1),(1)) = ((1),(5))$? E` unica? Trovare $"Ker"f$ ed $"Im"f$.
Risposta: Noto che i due vettori del dominio sono lin. indip e costituiscono una base del dominio, quindi l'app.lin esiste ed è unica, giusto?
Per trovare $"Ker"f$ ed $"Im"f$ vado a scrivermi la matrice associata alla base canonica $\{((1),(0)),((0),(1))\}$ e trovo ...
Sto risolvendo gli esercizi, con ahimè, molta lentezza, del libro "Algebra lineare, per matematici" di Manetti.
All'esercizio sulla determinazione del rango mi imbatto in un sistema che così si conclude:
${b=1;<br />
a=0;<br />
a=1$
La mia domanda, che intuisco essere banale, e da liceo superiore forse, é: come si definisce un sistema in cui mi compaiono, se non sbaglio, 'due stesse lettere con differenti soluzioni'? Come si chiama questo argomento? Pdf con una completa discussione sui sistemi e casi ...
Salve ragazzi, ho un problema su questo esercizio, ho un’applicazione lineare definita in questo modo:
T(x,y,z) = (x+y,2x-y,y,x+z). Ho trovato il sottospazio vettoriale delle immagini che è il seguente: (correggetemi se sbaglio) . Adesso devo scrivere un sistema omogeneo lineare che abbia quelle soluzioni. Come faccio?
Consideriamo lo spazio topologico $RR/NN$ con la topologia quoziente.
Voglio dire che non è primo numerabile
(ovvero che esiste un punto che non ammette un sistema fondamentale di intorni numerabile).
Prova
Considero $\bar{0} \in RR/NN$ e dico che questo non ammette un sistema fondamentale di intorni.
Prendiamo ${U_n}_(n \in NN)$ famiglia di aperti di $RR/NN$ e vediamo che non può essere un sistema fondamentale di intorni per $\bar{0}$.
Ricordando la continuità della ...
ciao,ho questo esercizio con questo prodotto scalare
$ < x,y> = x_1y_1+x_2y_2+4x_3y_2+4x_2y_3+3x_3y_3-x_1y_4-x_4y_1+5x_4y_4 $
Devo determinare il segno quindi
$ < x,x> = x_1^2+x_2^2+8x_2x_3+3x_3^2-2x_1x_4+5x_4^2 $
solo da qui non ho capito come si continua me lo potete spiegare?
grazie mille in anticipo per chi risponderà
Salve,
sto cercando una spiegazione per qualche esercizio di Geometria 2, in particolare di topologia.
Non ho ben capito l'argomento che riguarda la convergenza di successioni in diverse topologie.
Qualcuno saprebbe darmi una mano, magari spiegandomi l'argomento anche con qualche esempio?
Nel caso, riporto qualche esercizio di seguito:
Le successioni:
In R, { xn = -3 - 1/n }
{ xn = 1/ (n+1) }
In R^2, { xn = -1 - 1/ (n+1) , 1/n }
Si chiede la convergenza considerando la topologia ...
Ciao. Sia \( f\colon X_1\to X_2 \) continua se per ogni \( A\subset X \), preso un punto \( x \) aderente all'insieme, l'immagine secondo \( f \) di \( x \) è aderente a \( f_*A \).
Voglio provare che una funzione lineare dell'euclideo \( \mathbb{R}^n\) in \( \mathbb{R} \) è continua, con questa caratterizzazione di continuità (è un esercizio).
Dimostrazione
Sia \( f\colon\mathbb{R}^n\to\mathbb{R} \) lineare, e sia \( x=\sum_i x_iv_i \) un punto aderente ad un sottoinsieme \( A \) del ...
Ciao a tutti, ho fatto il seguente esercizio:
"Trovare il kernel della seguente funzione f(x,y,z,t) = (2z,z,y-z-t)"
Mi sono convertito i vettori base di R4:
f(0,0,0,1) = (0,0,-1) ;
f(0,0,1,0) = (2,1,-1) ;
f(0,1,0,0) = (0,0,1) ;
f(1,0,0,0) = (0,0,0).
Le ho messe in una matrice sottoforma della matrice del cambiamento di base:
[0 2 0 0] = [x]
[0 1 0 0] = [y]
[-1 -1 1 0] = [z]
========= [t]
Ponendo il tutto uguale al vettore nullo.
Non mi sono trovato con la ...
Vorrei capire se il mio ragionamento è corretto per risolvere questo esercizio.
Per una festa un impresa di decorazioni decide di proporre degli ottaedri regolari i cui vertici sono delle palline colorate legate da dei tubi metallici
1) Se l'impresa dispone di \( m \geq 1 \) colori, quanti modelli differenti potra proppore? (Supponendo che i dubi hanno lo stesso colore)
2) L'impresa decide infine di colorare anche i tubi (indipendentemente dalle palline). Quanti modelli può creare, se ...
Ciao. Quello che segue è un esercizio (che faccio perché è da fine maggio che non prendo un libro di matematica in mano e sto per dimenticarmi anche la definizione di spazio ).
Si definisca una funzione continua come un funzione che rispetta la relazione di aderenza. Intendo dire che \( f\colon X_1\to X_2 \) è continua se per ogni \( A\subset X \), preso un punto \( x \) aderente all'insieme, l'immagine secondo \( f \) di \( x \) è aderente a \( f_*A \).
Ora, se \( f\colon X\to\mathbb{R}^n ...
salve ragazzi, ho un esercizio che mi chiede di calcolare la matrice associata a un tensore, la matrice l'ho trovata
(0,-2,3),
(0,-4,6),
(0,-2,3) ,
ORA la mia domanda è come trovo il tipo di tensore? poichè oltre alla matrice nella soluzione è presente " Il tensore è di tipo (0,2) . Il problema è che il prof non ci ha mai spiegato l'argomento , sul libro non è presente e ho trovato formule qua è la in giro per il web per trovare la matrice, ma non riesco a calcolare il tipo . Qualcuno sa ...
Buonasera!!
Ho un grosso problema con un esercizio di geometria sulle coniche, per completezza vi riporto l'intero testo dell'esercizio:
"Nel piano, rispetto ad un riferimento cartesiano R=(O;x,y), è data la conica C) $ 4x^2-4xy+y^2-2sqrt5y=0 $ . Classificare e scrivere in forma canonica C. Determinare inoltre l'equazione (nel sistema di riferimento R) della retta tangente alla conica passante per il vertice."
Per prima cosa ho scritto la matrice A e ne ho calcolato il determinante che viene uguale a ...
Sono a conoscenza che le immagini si perdono come le lacrime nella pioggia ma non vedo come altro fare per porre questa domanda.
Mi domanda è la seguente:
Per ciascuna delle pavimentazioni delle figure associate
a) Dare il tipo di gruppo delle rotazioni affini che preservano la pavimentazione
b) Esistono delle simmetrie (assiali o no) che preservano la pavimentazione?
Le soluzioni dicono
a)Figura 1 di tipo \( p2 \) mentre la figura 2 di tipo \( p6 \).
b) Figura 1: si simmetria "glissee" ...
Salve,
ho fatto un esame (I anno unviversità ) di algebra lineare e geometria analica.
Uno dei quesiti era il seguente:
Sia un omomorfismo (da R2 a R2) ) che porti i vertici di un quadrato (0,0) (0,3) (3,0) (3,3) in un cerchio di centro (0,0) e raggio 2. Quali tra questi
a) (1,0) -> (1/2,1/3)
(0,1) -> (-1/4,+1/4)
b) (0,3)-> (-1,1/2)
(3,3)->(4/3,0)
c) (0,3)->(1,1)
(3,0)->(2/3,1)
d) (1,0)->(0,2)
(0,1)->(2,0)
Io ho risposta "a" un pò per esclusione. ...
Ciao a tutti, ho una matrice del cambiamento di base:
[ 0 0 2 1 ]
[ 0 1 -1 0 ]
[0 1 1 1 ]
Le colonne 2 e 4 sono linearmente indipendenti, quindi la base dell'immagine di f è {(0,1,1),(1,0,1)} e generano qualcosa del tipo (x, y, x+y).
Poi l'ho ridotta, facendo R3=R1+R2-R3:
[ 0 0 2 1 ]
[ 0 1 -1 0 ]
[0 0 0 0 ]
Le colonne 2 e 4 continuano ad essere indipendenti, ma stavolta la base dell'immagine di f è {(0,1,0),(1,0,0)} e generano qualcosa del tipo (x,y,0).
Un collega universitario mi ha detto ...
Salve ragazzi, sto avendo dei seri problemi con due esercizi che non riesco proprio a capire come risolvere e ho provato in svariati modi ma nessuno di quelli mi dà lo stesso risultato scritto dal professore.
Il primo esercizio è:
1) Sia V= { $((a,b),(c,d))$ | a,b,c $in$ $RR$ } lo spazio vettoriale delle matrici simmetriche 2x2 a coefficienti in $RR$ .
per quale dei seguenti k$in$ $RR$ le matrici ...
Ciao ragazzi, non saprei bene come svolgere questo esercizio, potreste darmi una mano? "Mostrare che l’insieme C dei numeri complessi è uno spazio vettoriale su R di dimensione 2, e uno spazio vettoriale su C di dimensione 1".
grazie mille
Fissato un riferimento cartesiano dello spazio della geometria elementare, si determini un piano parallelo
alla retta $ r:{ ( 2x − 2y + z = 1 ),( x − y − z = −1 ):} $
Salve vorrei capire se ho fatto bene l'esercizio, ho preso spunto dal mio libro:
Riscrivo la retta in forma parametrica
$:{(x = t), (y = 1/3t),(z = -4/3t +1):}$
Il vettore direttore della retta data è $ (1, 1/3, -4/3) $ sostituisco i valori nell'equazione $ al + bm + cn = 0 $ e trovo che il piano ha equazione:
$pi: a + 1/3b - 4/3c = 0$
Salve a tutti, volevo sapere come svolgere chiaramente questo esercizio perché ho dubbi su come l'ho impostato: si consideri il sottoinsieme X=[2, 7[. Si calcoli la chiusura e il suo interiore per ognuno degli spazi topologici (R, t) dove t è la topologia naturale, delle semirette sinistre aperte, delle semirette destre aperte e la topologia che considera come aperti R, il vuoto e gli intervalli del tipo ]-a, a[
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