Base è dimensione
Buongiorno mi aiutateee
La prima è un sottospazio vettoriale perché contiene il vettore nullo se b=0 ma come ricavo dimensione e base?
La seconda non è un sottospazio vettoriale perché non contiene il vettore nullo
La terza e spazio vettoriale e l’ho trasformato in matrice e ho considerato le righe con i pivot.
Giusto?
La prima è un sottospazio vettoriale perché contiene il vettore nullo se b=0 ma come ricavo dimensione e base?
La seconda non è un sottospazio vettoriale perché non contiene il vettore nullo
La terza e spazio vettoriale e l’ho trasformato in matrice e ho considerato le righe con i pivot.
Giusto?
Risposte
per vedere se sono dei sottospazi vettoriali devi controllare se sono chiusi rispetto alla somma e al prodotto, il fatto che contengono il vettore nullo non è abbastanza, tra l'altro il secondo contiene il vettore nullo
"giovx24":
per vedere se sono dei sottospazi vettoriali devi controllare se sono chiusi rispetto alla somma e al prodotto, il fatto che contengono il vettore nullo non è abbastanza, tra l'altro il secondo contiene il vettore nullo
Si però la traccia dice senza dimostrare che è chiuso rispetto alla somma e al prodotto
Ma nel secondo non abbiamo (0,0,0)...L avanti rappresenta tipo la soluzione
@sara09
L'esercizio (punti 2 e 3) propone due insiemi di generatori usando due tipi di scritture equivalenti (le parentesi graffe o L(etc etc) ).
Non c'è bisogno di dimostrare che sono spazi vettoriali perchè per definizione uno spazio vettoriale è l'insieme di tutte le combinazioni lineari di un insieme di generatori. Usare la definizione per mostrare l'ovvio è abbastanza ridondante, per questo motivo ti chiedono di saltare questo passaggio. Ripeto, ti hanno dato degli insiemi di generatori, non insiemi definiti in modo particolare per cui sia effettivamente necessario andare a vedere se sono spazi vettoriali.
Tutto ciò che chiedono quindi è di prendere quegli insiemi di generatori e trovarne una base. La numerosità dei vettori della base ci darà la dimensione dello spazio vettoriale.
Tu invece da un lato scrivi che la traccia non ti richiede di dimostrare nulla e dall'altro vai a "vedere" se include il vettore nullo. Non solo non è richiesto ma il vettore nullo non fa mai parte di nessuna base.
Prendi il terzo esempio. Il vettore nullo puoi buttarlo: caccialo via. I due rimanenti sono uno comb. lineare dell'altro, quindi ne teniamo solo uno, diciamo ${(1,1)}$. Ci resta una base composta da un solo vettore, quindi lo spazio vettoriale ha dimensione 1.
E' una retta di $R^2$ che passa per l'origine, quindi contiene l'elemento neutro alla somma. E come si ottiene? $0*(1,1)=(0,0)$. E' sempre la combinazione lineare di tutti i vettori di una base moltiplicati per lo scalare zero.
Il vettore nullo è anch'esso combinazione lineare della base.
Mi stupisco che non ti sia ancora chiaro questo concetto: hai mai visto definire la base canonica con ${(1,0), (0,1), (0,0)}$ ?
L'esercizio (punti 2 e 3) propone due insiemi di generatori usando due tipi di scritture equivalenti (le parentesi graffe o L(etc etc) ).
Non c'è bisogno di dimostrare che sono spazi vettoriali perchè per definizione uno spazio vettoriale è l'insieme di tutte le combinazioni lineari di un insieme di generatori. Usare la definizione per mostrare l'ovvio è abbastanza ridondante, per questo motivo ti chiedono di saltare questo passaggio. Ripeto, ti hanno dato degli insiemi di generatori, non insiemi definiti in modo particolare per cui sia effettivamente necessario andare a vedere se sono spazi vettoriali.
Tutto ciò che chiedono quindi è di prendere quegli insiemi di generatori e trovarne una base. La numerosità dei vettori della base ci darà la dimensione dello spazio vettoriale.
Tu invece da un lato scrivi che la traccia non ti richiede di dimostrare nulla e dall'altro vai a "vedere" se include il vettore nullo. Non solo non è richiesto ma il vettore nullo non fa mai parte di nessuna base.
Prendi il terzo esempio. Il vettore nullo puoi buttarlo: caccialo via. I due rimanenti sono uno comb. lineare dell'altro, quindi ne teniamo solo uno, diciamo ${(1,1)}$. Ci resta una base composta da un solo vettore, quindi lo spazio vettoriale ha dimensione 1.
E' una retta di $R^2$ che passa per l'origine, quindi contiene l'elemento neutro alla somma. E come si ottiene? $0*(1,1)=(0,0)$. E' sempre la combinazione lineare di tutti i vettori di una base moltiplicati per lo scalare zero.
Il vettore nullo è anch'esso combinazione lineare della base.
Mi stupisco che non ti sia ancora chiaro questo concetto: hai mai visto definire la base canonica con ${(1,0), (0,1), (0,0)}$ ?
Scusami Bokonon ma non mi pare che sottintenda che siano "sistemi di generatori" ma proprio sottospazi ovvero per esempio per il terzo, chiede se quell'insieme di tre elementi è un sottospazio non un sistema di generatori … IMHO
"axpgn":
Scusami Bokonon ma non mi pare che sottintenda che siano "sistemi di generatori" ma proprio sottospazi ovvero per esempio per il terzo, chiede se quell'insieme di tre elementi è un sottospazio non un sistema di generatori … IMHO
Gli esercizi 2 e 3 sono sistemi di generatori quindi spazi vettoriali. E' la risposta.
Non viene sottointeso...viene proprio detto chiaramente che sono generatori.
Quella è la scrittura per dire "lo span di questi vettori".
Una base è sempre un insieme di generatori; al contrario, un insieme di generatori non è necessariamente una base.
E questa è la seconda parte dell'esercizio, ovvero trovare la base.
Mentre per il primo esercizio è diverso perchè il sottospazio non è stato definito direttamente da un sistema di generatori. In questo caso occorre constatare che è effettivamente un polinomio che appartiene allo spazio indicato e che per $b=0$ abbiamo l'elemento neutro (come giustamente ha fatto sara). Gli spazi polinomiali sono più ingannevoli.
"axpgn":
Scusami Bokonon ma non mi pare che sottintenda che siano "sistemi di generatori" ma proprio sottospazi ovvero per esempio per il terzo, chiede se quell'insieme di tre elementi è un sottospazio non un sistema di generatori … IMHO
a quanto pare le graffe stanno per span
"giovx24":
a quanto pare le graffe stanno per span
Però avevo letto cosa avevi scritto...che non è uno spazio vettoriale
Sono tutte scritture equivalenti:
W_3={(1,1), (0,0), (-1,-1)}
W_3=Span( (1,1), (0,0), (-1,-1) )
W_3=L((1,1), (0,0), (-1,-1))
La prima è la più comune in Italia, la seconda nei paesi anglosassoni. La terza è la versione italiana della seconda.
"Bokonon":
[quote="giovx24"]
a quanto pare le graffe stanno per span
Però avevo letto cosa avevi scritto...che non è uno spazio vettoriale
Sono tutte scritture equivalenti:
W_3={(1,1), (0,0), (-1,-1)}
W_3=Span( (1,1), (0,0), (-1,-1) )
W_3=L((1,1), (0,0), (-1,-1))
La prima è la più comune in Italia, la seconda nei paesi anglosassoni. La terza è la versione italiana della seconda.[/quote]
però mi sembra un po' esagerato che il libro utilizzi due notazioni diverse per indicare la stessa cosa
"Bokonon":
viene proprio detto chiaramente che sono generatori.
Sara chiaro a te ma io non lo vedo proprio …
Il testo chiede espressamente "quale dei seguenti sottoinsiemi è un sottospazio" e non credo che avrebbe senso chiederlo se quelli fossero "sistemi di generatori …
In secondo luogo, per me le graffe sono i simboli che rappresentano un insieme non uno span ; non so come si rappresenti in italiano perché mi sono abituato a letture in inglese dove lo span è rappresentato così $< … >$ oppure direttamente con la parola "span" … IMHO
Cordialmente, Alex
"axpgn":
In secondo luogo, per me le graffe sono i simboli che rappresentano un insieme non uno span
Quindi tu leggi "è un sottospazio spazio composto solo da tre vettori"?
Alex, basta aprire qualsiasi sito, video o pdf di esercizi, oppure un libro di algebra lineare...
Non è una mia opinione
"Bokonon":
[quote="axpgn"]
In secondo luogo, per me le graffe sono i simboli che rappresentano un insieme non uno span
Quindi tu leggi "è un sottospazio spazio composto solo da tre vettori"?
Alex, basta aprire qualsiasi sito, video o pdf di esercizi, oppure un libro di algebra lineare...
Non è una mia opinione[/quote]
sinceramente non avevo mai visto le graffe usate per indicare lo span, però bene ho imparato una nuova cosa
... in ogni caso non credo che l'obbiettivo dell'autore dell'esercizio fosse quello di far imparare le notazioni o quello di far confondere lo studente, pertanto mi sa che l'ultimo va interpretato come un semplice insieme di 3 vettori
"Bokonon":
Quindi tu leggi "è un sottospazio spazio composto solo da tre vettori"?
Difatti la domanda è proprio quella: è o non è un sottospazio? e ti chiede di rispondere senza tirarla per le lunghe …
"Bokonon":
Alex, basta aprire qualsiasi sito, video o pdf di esercizi, oppure un libro di algebra lineare...
I primi due siti che ho trovato col motore di ricerca non riportano esempi così fatti; wikipedia riporta solo "span()" e l'altro sito (di matematica) dice che si rappresentano in tre modi: con "span()", con "L()" e con $< … >$.
Sicuramente questo non prova niente (e tantomeno la mia poca esperienza in merito) ma se fosse come dici allora questa scrittura $W_3={(1,1), (0,0), (-1,-1)}$ sarebbe ambigua, in quanto rappresenterebbe due entità distinte: un insieme di vettori (che può essere inteso come un sistema di generatori) oppure l'insieme di tutte le combinazioni lineari di tali vettori (cioè lo span) e quindi necessiterebbe SEMPRE di una specificazione nel contesto in cui viene a trovarsi.
Cordialmente, Alex
Ma mi stai dando ragione?
In quell'immagine dice chiaramente che quell'insieme è un sistema di generatori non uno span.
Nel testo proposto dall'OP si chiede se quell'insieme è un sottospazio non se è un sistema di generatori.
In quell'immagine dice chiaramente che quell'insieme è un sistema di generatori non uno span.
Nel testo proposto dall'OP si chiede se quell'insieme è un sottospazio non se è un sistema di generatori.
Mi accodo; il terzo non è un span
È inutilmente fuorviante usare due notazioni diverse nello stesso esercizio; sopratutto quando si tratta di ${*}$ che ha un significato ben preciso.
Ma poi, in un esercizio che vuole testare le capacità di un omino nel capire cosa è uno spazio vettoriale e cosa non lo è, quale sarebbe l’utilita di mettere tre spazi vettoriali?
PS: un SISTEMA di generatori NON è uno spazio vettoriale.
È inutilmente fuorviante usare due notazioni diverse nello stesso esercizio; sopratutto quando si tratta di ${*}$ che ha un significato ben preciso.
Ma poi, in un esercizio che vuole testare le capacità di un omino nel capire cosa è uno spazio vettoriale e cosa non lo è, quale sarebbe l’utilita di mettere tre spazi vettoriali?
PS: un SISTEMA di generatori NON è uno spazio vettoriale.
"anto_zoolander":
PS: un SISTEMA di generatori NON è uno spazio vettoriale.
E cosa generano?
"Bokonon":
[quote="anto_zoolander"]
PS: un SISTEMA di generatori NON è uno spazio vettoriale.
E cosa generano?[/quote]
che importanza ha... non è uno spazio vettoriale e basta, è solo un insieme di vettori
Un spazio vettoriale!
Le notazioni "complete" sarebbero $<<{v_1,...,v_n}>>$ o $L({v_1,...,v_n})$ proprio per non far sorgere questi dilemmi ma quando hai capito come funziona la cosa puoi anche omettere le parentesi.
Un sistema di generatori è un sottoinsieme finito di vettori il cui span genera lo spazio ma una cosa è il sottoinsieme di vettori e un'altra è lo span generato da quel sottoinsieme. Infatti "spazio generato da un sistema di vettori" e "sistema di vettori" sono due cose diverse; quello è un sistema di vettori(in quanto sottoinsieme finito di vettori) e genera uno spazio vettoriale ma NON è uno spazio vettoriale.
Le notazioni "complete" sarebbero $<<{v_1,...,v_n}>>$ o $L({v_1,...,v_n})$ proprio per non far sorgere questi dilemmi ma quando hai capito come funziona la cosa puoi anche omettere le parentesi.
Un sistema di generatori è un sottoinsieme finito di vettori il cui span genera lo spazio ma una cosa è il sottoinsieme di vettori e un'altra è lo span generato da quel sottoinsieme. Infatti "spazio generato da un sistema di vettori" e "sistema di vettori" sono due cose diverse; quello è un sistema di vettori(in quanto sottoinsieme finito di vettori) e genera uno spazio vettoriale ma NON è uno spazio vettoriale.
"anto_zoolander":
Un sistema di generatori è un sottoinsieme finito di vettori il cui span genera lo spazio ma una cosa è il sottoinsieme di vettori e un'altra è lo span generato da quel sottoinsieme. Infatti "spazio generato da un sistema di vettori" e "sistema di vettori" sono due cose diverse; quello è un sistema di vettori(in quanto sottoinsieme finito di vettori) e genera uno spazio vettoriale ma NON è uno spazio vettoriale.
Ah intendi questo? Dalla mia prima risposta in questo thread...
"Bokonon":
uno spazio vettoriale è l'insieme di tutte le combinazioni lineari di un insieme di generatori.
Non lo sapevo, ho imparato una cosa nuova.
Sei entrato a gamba tesa in un thread in cui si parla di notazioni per dirmi una cosa che manco mi ha mai sfiorato?
E probabilmente manco ti scuserai per questo...perchè sei ancora arrabbiato per l'altro episodio.
"anto_zoolander":
Mi accodo; il terzo non è un span.
Quindi stai affermando che nell'ultimo esercizio non sono tre generatori ma solo tre vettori. E' esatto?
Quindi la risposta corretta è non è uno spazio vettoriale, esatto?
Non glissare come al solito, rispondi a tutte le domande perfavore
[xdom="gugo82"]@ Bokonon: Calmo, grazie.[/xdom]
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