Esercizio geometria 2
Salve a tutti, volevo sapere come svolgere chiaramente questo esercizio perché ho dubbi su come l'ho impostato: si consideri il sottoinsieme X=[2, 7[. Si calcoli la chiusura e il suo interiore per ognuno degli spazi topologici (R, t) dove t è la topologia naturale, delle semirette sinistre aperte, delle semirette destre aperte e la topologia che considera come aperti R, il vuoto e gli intervalli del tipo ]-a, a[
Risposte
Ciao!
Partiamo dalla prima; $[2,7]$ è un chiuso contenente $[2,7[$ no?
Riesci a dimostrare che se $C$ è un chiuso di $RR$ che contiene $[2,7[$ allora contiene anche $[2,7]$?
Partiamo dalla prima; $[2,7]$ è un chiuso contenente $[2,7[$ no?
Riesci a dimostrare che se $C$ è un chiuso di $RR$ che contiene $[2,7[$ allora contiene anche $[2,7]$?
Io ho semplicemente utilizzato la definizione di chiusura, ossia il più piccolo chiuso contenente X, e interiore, ossia il più grande aperto contenuto in X. Quindi per la topologia naturale ho pensato che la chiusura di X fosse [2,7] mentre l'interiore (2,7)
Ed è esatto sono proprio quei due gli insiemi però va dimostrato
quando si dice "il più piccolo chiuso contente $X$" si intende l'intersezione di tutti i chiusi che contengono $X$.
se per ogni chiuso $C$ contente $[2,7[$ si ottiene che $[2,7]subsetC$ allora significa che è contenuto anche nell'intersezione di tutti i chiusi ed essendo un chiuso vi deve coincidere.
di fatto se $C$ è un chiuso contente $[2,7[$ e $7 notin C$ allora sarebbe $7 in XsetminusC$ che però è un aperto e quindi esisterebbe almeno un $r>0$ per cui $I:=(r-7,r+7) subsetXsetminusC$ e qui si otterrebbe un assurdo considerando che $Icap[2,7[$ sarebbe contenuto sia in $C$ che nel suo complementare
quindi ogni chiuso contente $[2,7[$ deve contenere anche $[2,7]$ quindi è contenuto nell'intersezione di tutti i chiusi; pertanto risulta essere la sua chiusura.
Il discorso con l'interno è analogo e questi esercizi sono parecchio istruttivi per capire come "lavora" una topologia quindi prova ad abbozzare una soluzione per l'interno.
quando si dice "il più piccolo chiuso contente $X$" si intende l'intersezione di tutti i chiusi che contengono $X$.
se per ogni chiuso $C$ contente $[2,7[$ si ottiene che $[2,7]subsetC$ allora significa che è contenuto anche nell'intersezione di tutti i chiusi ed essendo un chiuso vi deve coincidere.
di fatto se $C$ è un chiuso contente $[2,7[$ e $7 notin C$ allora sarebbe $7 in XsetminusC$ che però è un aperto e quindi esisterebbe almeno un $r>0$ per cui $I:=(r-7,r+7) subsetXsetminusC$ e qui si otterrebbe un assurdo considerando che $Icap[2,7[$ sarebbe contenuto sia in $C$ che nel suo complementare
quindi ogni chiuso contente $[2,7[$ deve contenere anche $[2,7]$ quindi è contenuto nell'intersezione di tutti i chiusi; pertanto risulta essere la sua chiusura.
Il discorso con l'interno è analogo e questi esercizi sono parecchio istruttivi per capire come "lavora" una topologia quindi prova ad abbozzare una soluzione per l'interno.
Ah okay, chiarissimo grazie mille! Invece un altro esercizio mi chiede : considera la funzione f:R->R che associa ad x - > x^2+4. Si assuma che il codominio sia munito della topologia delle semirette destre aperte. Si stabilisca con quale topologia delle quattro descritte nell'esercizio precedente deve essere munito il dominio R per rendere la funzione continua. Per questo ho un blocco!!!
Devi ancora risolvere l'esercizio precedente.
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