"Ogni spazio finitamente generato ammette una base" e insiemi massimali

[marco2132k]

Voglio provare a dimostrare in un modo simile a quanto scritto qui che ogni spazio finitamente generato ha una base.

Dimostrazione. Sia \( V \) non banale, finitamente generato da un insieme di \( n \) vettori \( \left\{v_1,\dots,v_n\right\} \). Devo provare l'esistenza di un insieme massimale nella famiglia \( \mathcal B \) dei sottoinsiemi linearmente indipendenti dello spazio (e, poiché questo è di tipo finito, posso evitare il lemma di Zorn e amici). L'esistenza di un elemento massimale in \( \mathcal{B} \) è implicata dall'esistenza di un massimo nell'insieme dei naturali \( k \) per i quali esiste un insieme di cardinalità \( k \) linearmente indipendente. Tale insieme non è vuoto, e se non ammettesse massimo, per ogni insieme linearmente indipendente di \( k \) elementi ne esisterebbe un altro di \( l>k \) elementi. \( \square \)

Come va? Mi sembra un modo di procedere più coerente con la dimostrazione del caso di \( V \) non di tipo finito.

[anto_zoolander]

Ciao marco

Da quello che ho capito poni $A={k inNN| existsSsubsetB(#S=k wedge S$ \( l.i. \)$)}$
Poi dici che è non vuoto poiché $1 in A$ poiché lo spazio essendo non vuoto ammette almeno un vettore(che forma un sistema indipendente).

Il massimo esiste per forza perché se $k in A$ allora $k$ è là cardinalità di qualche sottoinsieme di $B={v_1,...,v_n}$ e quindi $kleqn$ e data l’esistenza del massimo...

In genere nel finito le cose filano quasi sempre meglio

PS: nella dimostrazione puoi anche non scrivere $B={v_1,...,v_n}$ ma semplicemente $BsubsetV$ con $#B=n$ e $<>=V$; nella dimostrazione la particolare scrittura di $B$ nemmeno la usi

[marco2132k]

Grazie per al risposta. Eccomi. Sì, avrei dovuto specificare all'inizio che ho diviso la dimostrazione nel caso di \( V \) banale e no, solo che ho dimenticato di scrivere che il caso \( V=\langle 0\rangle \) è vero. Usando i simboli del mio post, \( A \) è l'insieme \( \left\{\#S:S\in\mathcal{B}\right\} \). Questo si dimostra tenendo presente che in uno spazio \( n \)-finitamente generato ogni insieme linearmente indipendente[nota]Per me \( S\subset V \) (finito o meno) lo è, se nessun \( v\in S \) appartiene al sottospazio generato da \( S\setminus\{v\} \).[/nota] è anche finito, e quindi non c'è nessun problema a dire che \( A \) è l'insieme dei naturali \( k \) che [...].

"anto_zoolander":Il massimo esiste per forza perché se $ k in A $ allora $ k $ è là cardinalità di qualche sottoinsieme di $ B={v_1,...,v_n} $ e quindi $ kleqn $ e data l’esistenza del massimo...

Qui stai praticamente affermando che per ogni insieme linearmente indipendente \( S \) di cardinalità \( \#S=k \) esiste un sottoinsieme del sistema di generatori \( B \) che ho fissato (inutilmente, come hai detto ) della stessa cardinalità? Non capisco che cosa è \( B \).

Stai semplicemente dicendo che \( A \) ha una limitazione superiore (i.e., \( n \)), e quindi per sua natura un massimo?

p.s. Non ricordo più che cosa intendessi quando ho messo il \( \square \) ad indicare che la dimostrazione è conclusa, o che ne manca solo un passaggio banale; probabilmente avevo in mente una cosa sbagliata.

[anto_zoolander]

Le definizioni prese per una stessa cosa devono essere equivalenti; quindi puoi intenderla in qualsiasi modo

Ti scrivo in forma estesa quanto volevo dire prima che tanto non ho sonno

quello che ho fatto è tradurre sostanzialmente quello che hai scritto a parole per assicurarmi di non aver saltato passaggi; comunque è corretta e fila abbastanza bene, hai usato correttamente la caratterizzazione delle basi data da sistema l.i. massimale <=> base

Inizialmente hai scritto “lo spazio generato da ${v_1,...,v_n}$” e poi non hai utilizzato minimamente questa scrittura. La modifica che ho fatto è legata all’utilizzare proprio il sistema di generatori in maniera abbastanza diretta per arrivare alla conclusione

Hai come ipotesi che $V$(non banale) è finitamente generato ovvero esiste un sottoinsieme non vuoto $B$ di $V$ tale che $#B=n$ per qualche $n inNN$ e $<> =V$

A questo punto si può considerare $A={k inNN|existsSsubsetB(#S=kwedge S$ \( l.i. \)$)}$ che puoi notare essere equivalente alla tua scrittura in quanto $A$ contiene soltanto le cardinalità di tutti i sottoinsiemi linearmente indipendenti di $B$(il sistema di generatori)

Quì ti viene in soccorso il fatto che ogni sottoinsieme di $NN$ non vuoto e superiormente limitato ammette massimo.

- è non vuoto poichè essendo $B$ non vuoto esiste un $v in B$ non nullo e $S={v}$ è un sottoinsieme di $B$ linearmente indipendente quindi $#{v}=1 in A$

- è superiormente limitato poiché se $k in A$ allora $k$ è la cardinalità di un qualche sottoinsieme linearmente indipendente di $B$ e quindi $kleq#B=n$.

Da questo si ottiene che esiste un sottoinsieme $S$ dei generatori linearmente indipendente con $#S=m$
Ogni altro sottoinsieme dei generatori che risulta essere linearmente indipendente ha quindi cardinalità minore od uguale a $m$ visto che è il massimo di $A$

Basta provare che questo sistema $S$ genera $V$

- se $m=n$ abbiamo finito

- se $1leqm>$ per ogni $v in BsetminusS$ da cui $<> = <> =V$

Questo poiché $<>$ contiene tutti i vettori di $B$ quindi contiene ogni loro combinazione lineare pertanto coincidono

Come puoi notare ci si è ridotti a considerare una parte di tutti i sottoinsiemi linearmente indipendenti

Qui viene messo fortemente in evidenza come agisce il fatto che $V$ sia “finitamente generato”, infatti ogni sistema $S’$ linearmente indipendente di $V$ sarà tale per cui $<> subset V= <>$ ovvero $S’ subset <>$

In poche parole tutti i sistemi indipendenti sono comunque obbligati a passare da combinazioni lineari dei generatori; a questo punto appare evidente che il sistema massimale puoi anche cercarlo tra i generatori stessi. Questo ti fornisce un’idea su come procedere per trovare una base di uno spazio finitamente generato.

Anche perché penso che la tua dimostrazione non si discosti di moltissimo da quella fatta per gli spazi a dimensione infinita; può essere sempre un buon allenamento cercarne una totalmente diversa.

Spero che la mia insonnia non ti abbia annoiato

[vict85]

Ti stai complicando la vita. Considera \(B_0 = \{ v_1, \dotsc, v_n \}\). Se esso è linearmente indipendente hai finito. Altrimenti costruisci un suo sottoinsieme \(B_1\) eliminando un suo elemento che è generato da altri elementi dell'insieme \(B_0\). Prosegui in questo modo fino ad avere un insieme linearmente indipendente. Questo procedimento è finito perché la cardinalità di \(B_0\) lo è. Inoltre \(B_s\) genera \(V\) per ogni \(s\) perché genera \(B_0\).

[marco2132k]

Sono due messaggi che dimentico, dopo aver più o meno provato che \( A \) ha massimo, di concludere la dimostrazione. E credo ci sia un modo più veloce di finire. Se \( A \) ha massimo, si vede immediatamente che l'insieme a cui corrisponde tale cardinalità è massimale nel poset \( \mathcal{B} \) ordinato per inclusione: se \( B \) è un sottoinsieme linearmente indipendente dello spazio, di cardinalità \( \#B=\max{A} \), ammetterne un maggiorante diverso da \( B \) stesso è contraddittorio.

Poi rimarrebbe da dimostrare (a meno che tu non voglia prenderlo per definizione) che un insieme massimale in \( \mathcal{B} \) è una base. E lo è, ché se \( B \) è massimale in \( \mathcal{B} \), ammettere l'esistenza di un \( v\in V\setminus\langle B\rangle \) rende, similmente al tuo argomento, l'insieme \( B\cup\{v\} \) linearmente indipendente e maggiorante di, e diverso da, \( B \).

Quindi, se un \( B \) è massimale, è \( \#B=\max{A} \): genera lo spazio, dunque ogni altro insieme linearmente indipendente avrà un numero di elementi più piccolo.

E tutte le basi hanno la stessa cardinalità, ed è lecito definire una mappa \( \dim\colon\mathrm{FinVect}_{K}\to\mathbb{N} \) che ad ogni \( V \) associ \( \max\{\#S:S\subset\mathcal{B}_V\} \). Che di fatto mi conclude appieno quello che dovevo provare

@vict85 Sì, conosco ovviamente quella dimostrazione; volevo imitare quella che si fa per gli spazi non a dimensione finita (dove, appunto, conviene dimostrare che esiste un massimale nella famiglia a carattere finito degli insiemi linearmente indipendenti).