Definizione spazio localmente connesso per archi

[Platone2]

Ho consultato due/tre fonti e su ognuna ho trovato la seguente definizione per spazio localmente connesso per archi:

per ogni punto $x\in X$ ogni intorno aperto di $x$ contiene un intorno aperto connesso per archi.

Quello che non capisco è: non basterebbe richiedere che ogni punto abbia (semplicemente) un intorno aperto connesso per archi??

[anto_zoolander]

quella definizione significa che ogni punto contiene un sistema fondamentale di intorni connessi per archi.
In genere nella locale connessione, connessione per archi, compattezza si richiede che valga per un sistema fondamentale di intorni.

È una condizione più forte dell’avere un singolo intorno connesso per archi

[Platone2]

Grazie per la risposta. Ma quando si dice "contiene", è inteso "contiene propriamente"? Perchè altrimenti le asserzioni mi sembrano equivalenti: se $x$ ha un intorno connesso per archi $U$, allora preso un intorno qualsiasi $V$ di $x$, o $V$ contiene $U$ e in questo caso ci siamo, oppure basta considerare $U\cap V$ (o al massimo la sua componente connessa contenente $x$).

[dissonance]

Secondo me Platone ha ragione.