Geometria e Algebra Lineare
Discussioni su problemi, esercizi e teoremi che riguardano la geometria, l'algebra lineare e la topologia
Domande e risposte
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Salve, vorrei provare che un cono quadratico è una quadrica
Nello spazio proiettivo, sia $\pi$ un piano, $\Gamma$ una sua conica e $V$ un punto non appartenente a $\pi$. Si dice cono quadratico di vertice $V$ e generatrice $\Gamma$ l'insieme
\[
\mbox{Sc}(V,\Gamma)=\bigcup_{P\in \Gamma}PV
\]
dove con $PV$ s'intende la retta che passa per $P$ e $V$. Ora i miei ...
Ciao a tutti,
ho visto lo svolgimento di alcuni esercizi di algebra lineare, e mi pare che quando viene chiesto di calcolare il sottospazio somma come ad esempio \(\displaystyle U + V \) quello che viene fatto è trovare una base del sottospazio utilizzando una base di U ed una di V.
Quello che non mi è chiaro del tutto è perchè viene trovata una base per determinare il sottospazio.
Credo sia perchè conoscendo una base si conosce l'intero spazio, o sottospazio, vettoriale.
Mi chiarite la ...
Salve a tutti.
Penso di non aver capito il concetto di base e di span e non ho trovato nessuna discussione che me lo chiarisse. Visto che problemi simili mi si ripresentano spesso nella preparazione dell'esame che devo dare ho pensato di chiedervi una mano per cercare di capire e in futuro arrangiarmi.
Quindi ringrazio già chiunque possa aiutarmi.
Il testo del problema è riportato nell'immagine
Salve.Studiando topologia generale, mi sono trovato davanti a un esercizio che non so come risolvere. L'esercizio ricgiede di dimostrare che "una funzione tra spazi topologici $f:X->RR $ è semicontinua superiormente se e solo se per ogni $x \in X$ e per ogni $\epsilon >0$ esiste un intorno $U$ di $x$ tale che $f(y)<f(x)+ \epsilon$ per ogni $y \in U$".
Ora io delle funzioni tra spazi topologici semicontinue superiormente conosco solo la ...
Salve a tutti,
sto studiando per l'esame di Geometria 2 e mi sono imbattuta nel seguente esercizio:
"Assegnata la seguente quadrica $ Q:x^2+y^2+2xt-2yz=0 $ di $ P_3(C) $ , si determini la retta polare di $ r: { ( x=0 ),( z=0 ):} $ rispetto alla quadrica $ Q $ "
Io l' ho risolto cosi:
Ho preso due punti qualsiasi appartenenti alla retta $ r $, $ A (0,1,0,1) $ e $ B (0,-1,0,1) $, dopodiché ho determinato i piani polari di $ A $ e ...
Salve ho un problema con la definizione di gruppi topologici
Un gruppo topologico $G$ è un gruppo $(G,\cdot)$ in cui le applicazioni
\[
f : G\to G \quad g\to g^{-1} \qquad g : G^{2}\to G \quad (g,h)\to gh
\]
sono continue
Non capisco come è fatta una tale topologia : se non conosco gli aperti di $G$, come faccio a valutare la continuità di $f,g$?
Avevo pensato a questa interpretazione
Un gruppo ...
Mi sono imbattuto nella seguente relazione goniometrica ma non riesco a capire da dove proviene (forse perché non riesco bene a visualizzare il disegno).
Consideriamo una radiazione che si propaga nella direzione $\hat{l}$ identificata dai tre angoli $\alpha,\beta,\gamma$ rispetto al riferimento cartesiano. Vale $\cos^2\alpha + \cos^2\beta + \cos^2\gamma=1$.
Il caso 2D è banale. Ma in 3D non ho capito bene se i tre angoli sono gli angoli tra l'asse e la proiezione di $\hat{l}$ sul piano (tipo coordinate ...
Definizione. Siano $M$ e $N$ varietà liscie, e sia $F:M\to N$ un'applicazione. Diremo che $F$ è un'applicazione liscia se per ogni $p\inM$, esiste una carta liscia $(U,\varphi)$ contenente $p$ e una carta liscia $(V,\psi)$ contenente $F(p)$ tale che $F(U)\subseteq V$ e la composizione $\psi\circ F\circ\varphi^{-1}:\varphi(U)\to\psi(V)$ è liscia.
Si dimostra che ogni applicazione liscia $F: M\to N$ tra varietà liscie è ...
Salve a tutti, dovrei per esercizio risolvere questo sistema di equazioni lineari:
x[size=50]1[/size]+2x[size=50]2[/size]-x[size=50]3[/size]+x[size=50]4[/size]+x[size=50]5[/size]=1
2x[size=50]1[/size]+x[size=50]2[/size]-2x[size=50]3[/size]-x[size=50]4[/size]=0
3x[size=50]2[/size]+3x[size=50]4[/size]+2x[size=50]5[/size]=2
x[size=50]1[/size]-x[size=50]2[/size]-x[size=50]3[/size]+x[size=50]4[/size]+2x[size=50]5[/size] =2
utilizzando solo ed esclusivamente il metodo di eliminazione di Gauss.
Mi ...
Buongiorno. Vorrei fare una domanda su un esercizio di algebra lineare.
Il testo dell'esercizio è il seguente:
Sia data l'applicazione F: $RR_1$[x] -> $RR_2$[x] definita da: F(ax + b) = (a-b)$x^2$ + k($b^2$)x + 2a. Si determinino i valori di k per cui tale applicazione è lineare.
La soluzione del libro è: per nessun k reale.
Tuttavia se io ponessi k = 0, l'applicazione non risulterebbe lineare?
Lo dimostrerei nel seguente modo:
Posto k = 0, siano ...
Buonasera, mi rivolgo nuovamente a voi poichè mi sto rendendo conto, facendo le varie simulazioni di esame, che i sistemi lineari parametrici hanno determinanti enormi e che richiedono una quantità di tempo enorme per essere calcolati.
Vorrei capire se per caso, il nostro professore voglia metterci alla prova, tramite delle nozioni di teoria a me mancanti (ho fatto delle ricerche sia su internet che sul libro ma non ho trovato niente) che permettano di risolvere il determinante in fretta. Anche ...
Buon giorno a tutti,
ho trovato questo quesito e mi chiedevo: quale risposta mettereste voi?
Sia $ A in R^(nxn) $ la matrice dei coefficienti di un sistema lineare omogeneo avente soluzioni non nulle.
Si può affermare che
1. det(A) è non nullo
2. per ogni $ b in R^(nx1) $ Ax=b ha infinite soluzioni
3. per qualche $ b in R^(nx1) $ Ax=b è risolubile
4. per qualche $ b in R^(nx1) $ Ax=b ha una soluzione
Io ho optato per la seconda in quanto, parlando di soluzioni nel testo del quesito, ...
In esercizio viene proposto di dimostrare che
L'insieme $\RR_{Sf}\times \RR_{Sf}$ con la topologia prodotto è di Hausdorff ma non è metrizzabile
essendo $\RR_{Sf}$ la retta di Sorgenfrey, cioè la topologia che ha per base gli intervalli semiaperti $[a,b[$. Lo spazio è di Hausdorff perché $\RR_{Sf}$ è di Hausdorff. Infatti, per ogni $x,y\in \RR_{Sf}$ distinti, detto $0<r<\frac{d(x,y)}{2}$, gli aperti $[x-r,x+r[$ e $]y-r,y+r[$ sono disgiunti e ...
Salve a tutti,
ho appena iniziato a studiare Meccanica Razionale dal testo di Levi Civita e sto studiando il capitolo legato alla teoria dei vettori.
Sono arrivato alla definizione di momento assiale che è:
Per momento $M$ di un vettore $v$ applicato in $A$ rispetto ad una retta orientata $r$ intendesi la componente secondo $r$ del momento di $v$ rispetto a un qualsiasi $P$ di codesta ...
Buonasera, sono di nuovo io! Inanzitutto ringrazio per l'aiuto datomi sui sistemi lineari con parametro.
Oggi, mi presento con una tipologia di esercizio diversa, presa sempre da una delle tante simulazioni prive di risoluzioni .
Sicuramente, su questa tipologia mi sento meno confuso, in ogni caso un parere da una mente che conosce bene la materia penso che possa solo essere di aiuto.
Inizio
Si consideri la matrice:
$ ( ( 0 , 1 , b^2-1 ),( 1 , 0 , b-1 ),( 0 , 0 , -1 ) ) $
a)Determinare gli autovalori di A con le relative ...
Salve sto preparando l'esame di Geometria ed Algebra lineare ed ho molti dubbi su questo esercizio, spero qualcuno possa aiutarmi.
$ f_h : (x,y,z) in RR^3 -> (h x+y+2z, x+h y+hz,2z) in RR^3 $
Scrivo la matrice associata
$ A= ((h,1,2),(1,h,h),(0,0,2)) $
la sottraggo alla matrice identità moltiplicata per $lambda$
$ A - lambda I = ((h,1,2),(1,h,h),(0,0,2)) - ((lambda, 0, 0),(0, lambda, 0),(0,0, lambda)) = ((h- lambda,1,2),(1,h- lambda,h),(0,0,2- lambda)) $
Il determinante della matrice ottenuta mi risulta essere:
$ det( A - lambda I) = (2- lambda)[(h- lambda)^2-1] $
Pongo il determinante uguale a 0 e ottengo i tre autovalori
$ lambda_1 =2, lambda_2 =h-1, lambda_3 =h+1 $
E qui iniziano i miei dubbi in quanto ottengo che
per ...
L'esercizio chiede:
Studiare la diagonalizzabilità della matrice A, e in caso affermativo determinare una base di autovettori.
Non ho capito perchè c'è quell' "in caso affermativo". Anche se la matrice non fosse diagonalizzabile, io riesco sempre a trovare una base dell'autospazio relativo ad un autovettore, giusto? L'insieme di queste basi di autospazi mi formano la base di autovettori, quindi perchè soffermarsi sulla diagonalizzabilità? Un amico mi ha detto che qualcosa che riguarda teorema ...
Buonasera!
Oggi mi sono approcciato per la prima volta ad un sistema lineare parametrico. Ho eseguito i vari passaggi ma ottenendo delle soluzioni piuttosto bizzarre
Riporto qui di seguito il testo più il mio tentativo. Purtroppo il testo è privo di soluzioni, ed in generale ho tutti gli esercizi senza l'ombra delle soluzioni, quindi non so dove sbattere la testa se non qua. Ringrazio già anticipatamente (di cuore).
"Si consideri il sistema di equazioni lineari dipendenti da un parametro ...
Ciao
Studiando algebra lineare (in particolare approfondendo il concetto che conoscevo di prodotto scalare con forme bilineari) mi è sorto un dubbio abbastanza stupido e "basso" (cioè terra-terra)
Mi sono accorto che la definizione di prodotto scalare (in genere forma bilineare ma vorrei considerare il caso del prodotto scalare) non si usa il concetto di componenti. CIoè si può poi fare il prodotto scalare usando le compnoneti, ma il prodotto scalare nasce a priori. Quindi mi verrebbe da ...
Salve, avrei un dubbio sul secondo punto del seguente esercizio
Sia $q(x,y,z)=x^{2}+z^{2}-2xy-2yz$ una forma quadratica definita su $\mathbb{R}^{3}$ con il prodotto scalare standard
1) Si determini un riferimento ortonormale in cui $q$ è espressa in forma diagonale (non canonica)
2) Si determini un riferimento ortonormale in cui $q$ è espressa in forma canonica
3) Si determini la segnatura e il rango di $q$
Per rispondere al primo ...
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