Geometria e Algebra Lineare
Discussioni su problemi, esercizi e teoremi che riguardano la geometria, l'algebra lineare e la topologia
Domande e risposte
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Salve ragazzi, a pochi giorni dalla prova di Analisi B ho sicuramente ancora troppi dubbi. Vi posto qui un quesito che sicuramente avrà una soluzione banale, ma che mi sta facendo perdere troppo tempo.
Siano dati i vettori v=(3,1,-1) e w=(-1,2,1). Si richiede di descrivere il complemento ortogonale dello spazio generato da v e w.
Per risolverlo, cerco un vettore X tale che sia allo stesso tempo ortogonale a v ed a w. Ciò equivale a risolvere il sistema omogeneo AX=0, dove A è la matrice ...
Fissato $bar v in RR$.Sia $V={A in M_n (RR):EE lambda in RR per cui A*bar v=lambda*bar v }$.V è sottospazio vettoriale?Qual è la sua dimensione?
Nei giorni scorsi abbiamo osservato che le traformazioni lineari fratte (TLF) e le proiettività possono essere, sotto certe ipotesi, la stessa cosa. Mi pare che sia questo il caso di $CC$: infatti se abbiamo una $f(z)=(az+b)/(cz+d)$ con $det((a, b), (c, d))!=0$, si capisce che questa è (la restrizione di) una proiettività di $\mathbb{P}^1(CC)$.
D'altro canto $\mathbb{P}^1(CC)=CCuu{infty}$ viene spesso chiamato sfera di Riemann proprio perché corrisponde biunivocamente ad una sfera per proiezione ...
Ultimamente stavo riflettendo un po' sulla geometria proiettiva, che per me ha rappresentato un esame all'università e poi è finita nel dimenticatoio. E invece sto avendo l'impressione che le trasformazioni proiettive sono un oggetto più comune di quanto pensassi, ma non riesco a formalizzare bene questo concetto.
Prendiamo un esempio:
Se uno vuole trasformare l'intervallo $[0, 1)$ in un qualunque intervallo $[a, b)$, si rivolge immediatamente alla trasformazione ...
Salve a tutti, avrei bisogno di un suggerimento.
Data una sfera con centro nell'origine ed un fascio di rette nello spazio, come faccio a trovare le rette del fascio tangenti alla sfera.
Ho pensato di ricavare le coordinate di un generico punto del fascio in funzione del parametro k e di sostituirle nell'equazione della sfera imponendo in seguito det = 0.
E'corretto?
In un semicerchio e diametro 8r è inscritto un rettangolo la cui diagonale è "radice " 43r. Determinare base e altezza del rettangolo. Mi serve solo controllare se è giusto! Grazie, spero in un vostro aiuto!
ciao a tutti,
ho un esercizio in cui mi si chiede di caratterizzare tutte le proiettività che determinano una traslazione in $A^3$ (spazio affine con coordinate non omogenee x,y,z) e tutte quelle che determinano una rotazione intorno all'asse z.
e nel testo dell'esercizio è data l'omogenizzazione $\alpha (x,y,z)=[x:y:z:1]$.
beh per il primo punto visto che una traslazione di vettore $v=(v_x,v_y,v_z)$ è tale che detto un vettore $P=(P_x,P_y,P_z)$
$T(P)=(P_x+v_x,P_y+v_y,P_z+v_z)$
le proiettività ...
Cito dal Munkres Topology edizione internazionale, pagina 140:
Teorema 22.1: Sia $p:X\toY$ una mappa quoziente, $A\subX$ un sottospazio saturo rispetto a $p$ [i.e. $p^(-1)(p(A))=A$] e sia $q:A\to p(A)$ la restrizione di $p$ ad $A$. Allora:
1) Se $A$ è aperto o chiuso in $X$ allora $q$ è una mappa quoziente;
2) [non ci interessa].
Secondo me la 1) è falsa. Magari ...
due domande veloci...
- è vero che se $V$ è uno spazio vettoriale sul campo $K$, allora
$V \otimes K \sim V$ come isomorfismo di spazi vettoriali?
- è vero che se prendo uno spazio vettoriale $V$ su $K$ e ci costruisco lo spazio vettoriale libero $K^V$, questo non è isomorfo ed è ben diverso da $V \otimes K$?
ovviamente nonostante l'apparenza non sono delle "yes-no questions!"...
Salve ho un problema, data la matrice
$A=((1,1/2,1/2),(-2,-1,1),(0,0,0))$
devo trovare un riferimento per cui questa sia triangolare e uno in cui sia in blocchi di jordan.
Sicuramente è triangolabile perchè ha spettro nullo, inoltre è anche nilpotente. Il problema è che non saprei come ridurla in forma triangolare e ne in blocchi di jordan. Non ci è stato spiegato.Voi sapreste darmi un metodo?
Salve a tutti, stavo pensando ad una cosa...
Se ho il mio spazio delle matrici quadrate 5x5 a termini reali SIMMETRICHE, quindi lavoro con lo spazio $M_{5\times 5}$ : $A\in M_{5\times 5} \text{simmetrica} $ ALLORA....Che base posso attribuire a qeusto spazio ? Ho cercato di fare un serie di ragionamenti considerando tutte le possibili forme delle matrici 5x5 che sono simmetriche ...... ma questo mi risulta un procedimento alquanto laborioso e inconcludende ..... voi avete qualche idea ..... che abase ...
Ciao, ho un problema con un esercizio e vi sarei infinitamente grata se poteste aiutarmi:
Sia V= R^4 e sia
At= $((t-1,t+1,0,0),(0,1,0,0),(t-1,0,t+1,t-1),(0,0,0,t-1))$
determinare KerAt e ImAt al variare di t, e rispettive basi.
Per t=0 scrivere v= $((t+1,1,1,t+1))$ come combinazione lineare dei vettori colonna di A0.
Io ho ridotto a scala la matrice, trovando
At= $((t-1,t+1,0,0),(0,1,0,0),(0,0,t+1,t-1),(0,0,0,t-1))$
trovando anche che
per t=-1 rango=3
per t=1 rango=2
per t-1 e t1 rango=4
a questo punto ho impostato il ...
ho il segunete esercizio che non riesco a risolvere
Nel piano euclideo sia fissato il riferimento R{O; v, w} dove, rispetto ad un altro sistema di
riferimento ortonormale, O = (1, 1), v = (−1, 0), w = (−1, 1). Determinare nel sistema di
riferimento R{O; v, w} l’equazione cartesiana e quella parametrica della retta r che contiene i
punti di coordinate (nel sistema di riferimento ortonormale iniziale) (0, 0) e (1, 1).
non so proprio da dove partire... mi potete almeno dare un ...
Salve, ho trovato questo esercizio tra quelli proposti dai miei insegnanti:
sia M una matrice invertibile, si dimostri che M = PS con S matrice simmetrica e P matrice ortogonale. (Campo Reale)
Qualcuno può darmi l'imput per partire? Stavo pensando che per il teorema spettrale posso trovare una base che mi rende P diagonale ed S pure, però non so cosa succede con M. Ma non vado da nessuna parte. Grazie!
Prendiamo una funzione $f:S-{s_0}\toT$ dove $S$ è uno spazio topologico e $T$ uno spazio metrico completo, $s_0$ sia un punto di accumulazione per $S$. Supponiamo che $f$ verifichi la condizione di Cauchy nel senso che:
$\forallepsilon\existsU\ "intorno di"\ s_0\ "t.c."\ \foralls, s'\inU, "d"(f(s), f(x))<epsilon$.
Possiamo dire che allora esiste $lim_{s\tos_0}f(s)$? Devo necessariamente supporre la 1-numerabilità di $S$?
buona sera a tutti
su di un libro di esercizi svolti trovo il seguente questito:
" Si trovi un sottospazio di $RR^5$ che contenga i vettori $v= (4,0,0,0,7)$ e $w= (1,0,1,0,0)$ ma non contenga $z= (2,0,-2,0,7)$ "
con relativa risposta:
" Non esiste perchè $z=v-2w$ appartiene a qualunque spazio che contenga $v$ e $w$ "
non capisco come faccia a saltar fuori quel $z=v-2w$....
Grazie
Gianluca
Buona sera. Ho difficoltà nello svolgimento del seguente esercizio ( con soluzione, pertanto è il procedimento a non essermi chiaro):
"In $R^4$ si consideri il sottospazio $V=L(v_1,v_2,v_3)$ dove $v_1=(0,0,1,1), v_2=(1,0,1,1), v_3=(1,1,0,0)$. Si vogliono determinare gli autovalori e gli autospazi dell'endemorfismo, così definito: $f:V->V$ con
$f(v_1)=(1,-1,4,4)=2v_1+2v_2-v_3$
$f(v_2)=(0,-1,3,3)=2v_1+v_2-v_3$
$f(v_3)=(3,-1,6,36)=2v_1+4v_2-v_3$"
Scegliendo come base S di V quella formata dai vettori $v_1,v_2,v_3$ si dovrebbe calcolare la ...
Ragazzi ma in realtà il gruppo simmetrico su n oggetti $(S;⋅)$ munito praticamente dell'operazione di composizione f⋅g=g°f.......sono io che impongo che la permutazione identica è l'elemento neutro e che il prodotto fra una permutazione e la sua unversa mi da la permutazione identica ovvero l'elemento neutro....perchè di fatto non è cosi ovvero se andassi a fare i calcoli il gruppo delle permutazioni S non è un gruppo...poichè non è sempre $f^-1 ⋅ f = id = f ⋅f^-1 $ ma soprattutto l'elemento ...
Salve ho questo omeomorfismo che va da $D^n$ e $R^n$ $ f(x)=x/(1-||x||)$.
1)Non capisco come funziona
2)Non capisco come si calcola l'inversa
Dimostrare che se X e Y sono omeomorfi tramite f allora anche $X-{x}$ e $Y-{f(x)}$ lo sono.
Allora $f$ ristretta a quel dominio è ancora biunivoca perchè anche il codominio è ristretto.Quello che manca è la verifica che si mantenga la continuità.
Ora sia $A in tau_y$ allora $f^-1(A)$ è un aperto sia se $x in f^-1(A)$ sia se x non gli apppartiene dato che un aperto meno un punto è un aperto.
Analogamente si controlla la continuità sull'inversa. ...
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