Spazi Vettoriali

[Gian741]

buona sera a tutti

su di un libro di esercizi svolti trovo il seguente questito:

" Si trovi un sottospazio di $RR^5$ che contenga i vettori $v= (4,0,0,0,7)$ e $w= (1,0,1,0,0)$ ma non contenga $z= (2,0,-2,0,7)$ "

con relativa risposta:

" Non esiste perchè $z=v-2w$ appartiene a qualunque spazio che contenga $v$ e $w$ "

non capisco come faccia a saltar fuori quel $z=v-2w$....

Grazie
Gianluca

[adaBTTLS1]

quello che non capisci è [quale delle tre?]:
- perché z è esprimibile come z=v-2w;
- come si fa a vedere che z è combinazione lineare di v e w;
- perché dal fatto che z=v-2w si può dedurre che tale sottospazio non esiste.
ciao.

[Gian741]

perchè z è esprimibile come z= v-2w

grazie

[adaBTTLS1]

diciamo che la risposta è "non esiste un tale sottospazio" se z è combinazione lineare di v e w, e questo significherebbe
$z=alpha v + beta w$, cioè $alpha(4,0,0,0,7)+beta(1,0,1,0,0)=(2,0,-2,0,7)$.
da un confronto con le singole coordinate, poiché la quinta coordinata di v è 7, la quinta coordinata di w è 0, la quinta coordinata di z è 7, l'equazione precedente implica $alpha=1$. anche da un analogo confronto con le terze coordinate si otterrebbe analogamente $beta=-2$: infatti $alpha*0+beta*1=-2$.
i due valori trovati di $alpha$ e $beta$ valgono anche per la prima coordinata: infatti $alpha*4+beta*1=2$ è soddisfatta per $alpha=1 ^^ beta=-2$.
pertanto $1*(4,0,0,0,7)-2*(1,0,1,0,0)=(2,0,-2,0,7)$.
spero sia chiaro. ciao.

[Gian741]

chiarissimo

grazie mille per l'aiuto

Gianluca

[adaBTTLS1]

prego!