Complemento ortogonale
Salve ragazzi, a pochi giorni dalla prova di Analisi B ho sicuramente ancora troppi dubbi. Vi posto qui un quesito che sicuramente avrà una soluzione banale, ma che mi sta facendo perdere troppo tempo.
Siano dati i vettori v=(3,1,-1) e w=(-1,2,1). Si richiede di descrivere il complemento ortogonale dello spazio generato da v e w.
Per risolverlo, cerco un vettore X tale che sia allo stesso tempo ortogonale a v ed a w. Ciò equivale a risolvere il sistema omogeneo AX=0, dove A è la matrice costruita con i vettori v e w messi per righe (fin qui non sbaglio, vero?).
In poche parole, non so come risolvere questo sistema. Come soluzione mi devo aspettare un piano per l'origine, vero? Come fare per trovarlo?
So che la domanda è banale, ma meglio essere certi, anzichè scrivere cavolate in sede d'esame!
Siano dati i vettori v=(3,1,-1) e w=(-1,2,1). Si richiede di descrivere il complemento ortogonale dello spazio generato da v e w.
Per risolverlo, cerco un vettore X tale che sia allo stesso tempo ortogonale a v ed a w. Ciò equivale a risolvere il sistema omogeneo AX=0, dove A è la matrice costruita con i vettori v e w messi per righe (fin qui non sbaglio, vero?).
In poche parole, non so come risolvere questo sistema. Come soluzione mi devo aspettare un piano per l'origine, vero? Come fare per trovarlo?
So che la domanda è banale, ma meglio essere certi, anzichè scrivere cavolate in sede d'esame!
Risposte
"supersimu":
Salve ragazzi, a pochi giorni dalla prova di Analisi B ho sicuramente ancora troppi dubbi. Vi posto qui un quesito che sicuramente avrà una soluzione banale, ma che mi sta facendo perdere troppo tempo.
Siano dati i vettori v=(3,1,-1) e w=(-1,2,1). Si richiede di descrivere il complemento ortogonale dello spazio generato da v e w.
Per risolverlo, cerco un vettore X tale che sia allo stesso tempo ortogonale a v ed a w. Ciò equivale a risolvere il sistema omogeneo AX=0, dove A è la matrice costruita con i vettori v e w messi per righe (fin qui non sbaglio, vero?).
In poche parole, non so come risolvere questo sistema. Come soluzione mi devo aspettare un piano per l'origine, vero? Come fare per trovarlo?
So che la domanda è banale, ma meglio essere certi, anzichè scrivere cavolate in sede d'esame!
Il discorso sul sistema mi sembra giusto, pero' se sei in $RR^3$ e se i due vettori noti sono linearmente indipendenti devi aspettarti una retta e non un piano.
In questo caso c'e' un trucco noto consistente nel prendere il prodotto vettoriale tra i due vettori dati (per cui c'e' una formuletta) e farne tutti i multipli.
Stavo pensando che potresti prendere un vettore linearmente indipendente dagli altri due e applicarci l'algoritmo di Gran-smith due volte e prendere il vettore che ne viene fuori, però non so se funziona 
Innanzitutto vi ringrazio, e naturalmente ha ragione ViciousGoblin quando mi dice che devo cercare una retta e non un piano!
Io avevo impostato un sistema del genere, cercando di imporre z=a e ricavarmi x ed y in funzione di a, in modo da avere una retta parametrizzata (il complemento ortogonale cercato):
$\{(3x + y - z = 0),(- x + 2y + z = 0),(z = a):}$
Ma ho come soluzione una retta i cui vettori non sono ortogonali nè al primo nè al secondo dei miei vettori di partenza! C'è qualcosa di sbagliato in questo sistema?
Io avevo impostato un sistema del genere, cercando di imporre z=a e ricavarmi x ed y in funzione di a, in modo da avere una retta parametrizzata (il complemento ortogonale cercato):
$\{(3x + y - z = 0),(- x + 2y + z = 0),(z = a):}$
Ma ho come soluzione una retta i cui vettori non sono ortogonali nè al primo nè al secondo dei miei vettori di partenza! C'è qualcosa di sbagliato in questo sistema?
non capisco cosa sia $z=a$ le prime equazioni che hai scrito sono le condizioni di ortogonalità di un generico vettore con $v$ e $w$
quindi se sommi la prima e la seconda ottieni $2x+3y=0$ da cui $y=-2/3 x$ e sostituendo ad esempio nella prima equazione ottineni $z=7/3 x$
quindi hai che ponendo $x=t$, $y=-2/3 t$, $z=7/3 t$ per $t\in RR$ è l'equazione parametrica del complemento ortogonale allo spazio generato da $v$ e $w$.
che come puoi vedere è una retta in quanto vi è un solo parametro libero $x$.
quindi se sommi la prima e la seconda ottieni $2x+3y=0$ da cui $y=-2/3 x$ e sostituendo ad esempio nella prima equazione ottineni $z=7/3 x$
quindi hai che ponendo $x=t$, $y=-2/3 t$, $z=7/3 t$ per $t\in RR$ è l'equazione parametrica del complemento ortogonale allo spazio generato da $v$ e $w$.
che come puoi vedere è una retta in quanto vi è un solo parametro libero $x$.
"miuemia":
non capisco cosa sia $z=a$ le prime equazioni che hai scrito sono le condizioni di ortogonalità di un generico vettore con $v$ e $w$
quindi se sommi la prima e la seconda ottieni $2x+3y=0$ da cui $y=-2/3 x$ e sostituendo ad esempio nella prima equazione ottineni $z=7/3 x$
quindi hai che ponendo $x=t$, $y=-2/3 t$, $z=7/3 t$ per $t\in RR$ è l'equazione parametrica del complemento ortogonale allo spazio generato da $v$ e $w$.
che come puoi vedere è una retta in quanto vi è un solo parametro libero $x$.
Il mio $z=a$ voleva essere pari pari al tuo $x=t$, ma non capisco perchè il tuo funzioni e il mio no...
perchè il tuo $z$ non è un parametro libero ma dipende da $x$. tutto qui
Mi scuserai se insisto un po', ma ho voglia di capire bene la questione, essendo un problema di base. Dato un sistema:
$\{(3x + y - z = 0),(- x + 2y + z = 0):}$
ho sempre pensato che la risoluzione di questo fosse indipendente dal parametro che sceglievo come "libero". Non è così? Come determino il parametro libero?
$\{(3x + y - z = 0),(- x + 2y + z = 0):}$
ho sempre pensato che la risoluzione di questo fosse indipendente dal parametro che sceglievo come "libero". Non è così? Come determino il parametro libero?
come vuoi lo puoi determinare.... vuoi scegliere $z$? bene allora in questo caso se sommassi le due eqauzioni $z$ scomparirebbe e non è quello che vuoi... però se sottrai semplcemente ottien una equazione con 3 parametri e non è quello che vuoi.... allora basta che moltiplichi la prima equazione per $2$ e poi sottrai la seconda e ottieni $7x-3z=0$ quindi ora è indipendente quale parametro scegli... vuoi scegliere $z$? bene allora hai che $x=3/7 z$
e sostituendo nella prima equazione, ad esempio, hai che $y=-2/7 z$ e quindi il tuo ortogonale è
$x=3/7 t$
$y=-2/7 t$
$z=t$
con $t\in RR$.
e sostituendo nella prima equazione, ad esempio, hai che $y=-2/7 z$ e quindi il tuo ortogonale è
$x=3/7 t$
$y=-2/7 t$
$z=t$
con $t\in RR$.
Chiarissimo, grazie mille.
alla prossima. ciao
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