Endomorfismo: difficoltà con matrice associata ad una base.
Buona sera. Ho difficoltà nello svolgimento del seguente esercizio ( con soluzione, pertanto è il procedimento a non essermi chiaro):
"In $R^4$ si consideri il sottospazio $V=L(v_1,v_2,v_3)$ dove $v_1=(0,0,1,1), v_2=(1,0,1,1), v_3=(1,1,0,0)$. Si vogliono determinare gli autovalori e gli autospazi dell'endemorfismo, così definito: $f:V->V$ con
$f(v_1)=(1,-1,4,4)=2v_1+2v_2-v_3$
$f(v_2)=(0,-1,3,3)=2v_1+v_2-v_3$
$f(v_3)=(3,-1,6,36)=2v_1+4v_2-v_3$"
Scegliendo come base S di V quella formata dai vettori $v_1,v_2,v_3$ si dovrebbe calcolare la matrice associata alla base S...Ma è qui che ho difficoltà. Infatti, una volta trovata questa matrice, si procede con il calcolo del polinomio caratteristico e con la ricerca degli autovalori( nella quale non ho problemi).
Spero nel vostro aiuto.
Grazie, alex
"In $R^4$ si consideri il sottospazio $V=L(v_1,v_2,v_3)$ dove $v_1=(0,0,1,1), v_2=(1,0,1,1), v_3=(1,1,0,0)$. Si vogliono determinare gli autovalori e gli autospazi dell'endemorfismo, così definito: $f:V->V$ con
$f(v_1)=(1,-1,4,4)=2v_1+2v_2-v_3$
$f(v_2)=(0,-1,3,3)=2v_1+v_2-v_3$
$f(v_3)=(3,-1,6,36)=2v_1+4v_2-v_3$"
Scegliendo come base S di V quella formata dai vettori $v_1,v_2,v_3$ si dovrebbe calcolare la matrice associata alla base S...Ma è qui che ho difficoltà. Infatti, una volta trovata questa matrice, si procede con il calcolo del polinomio caratteristico e con la ricerca degli autovalori( nella quale non ho problemi).
Spero nel vostro aiuto.
Grazie, alex
Risposte
Sai come si scrive la matrice associata ad un endomorfismo rispetto ad una data base?
Grazie per la risposta. Ad esser sincero, saprei scrivere la matrice associata soltanto se riferita ad una base canonica 
Non ho capito come procedere nel caso in cui sia data un'altra base.
Non ho capito come procedere nel caso in cui sia data un'altra base.
Ok, guarda, è semplicissimo. Se hai la base $\{v_i\}_{i=1,\ldots,n}$, per definizione di matrice associata deve essere
$f(v_i)=\sum_{j=0}^n a_{ij}\ v_j$
e la matrice associata è allora $M=A^T$, dove $A=[a_{ij}]$ è la matrice dei coefficienti $a_{ij}$. Se noti nel tuo caso gli $a_{ij}$ sono già tutti indicati!
(i coefficienti dei $v_i$)
$f(v_i)=\sum_{j=0}^n a_{ij}\ v_j$
e la matrice associata è allora $M=A^T$, dove $A=[a_{ij}]$ è la matrice dei coefficienti $a_{ij}$. Se noti nel tuo caso gli $a_{ij}$ sono già tutti indicati!
(i coefficienti dei $v_i$)
Ciampax, ti ringrazio per la risposta e mi scuso per il ritardo con cui giunge la mia. Non riesco a comprendere la simbologia, cioè nel caso pratico quel che hai scritto come viene espresso? 
anche un esempio con una base più semplice rispetto alla mia, con meno numeri...qualcosa che mi faccia comprendere come procedere. Purtroppo, ho dovuto chiedere anche ad altri utenti, quando non capii la matrice associata rispetto a basi canoniche, alcuni esempi ( e poi mi fecero risolvere un esercizio sulla base di quanto spiegatomi, per vedere se effettivamente io avessi compreso l'argomento 
) ...
Non so se avrai la pazienza, ma grazie lo stesso per la risposta.
A presto.
Alex.
anche un esempio con una base più semplice rispetto alla mia, con meno numeri...qualcosa che mi faccia comprendere come procedere. Purtroppo, ho dovuto chiedere anche ad altri utenti, quando non capii la matrice associata rispetto a basi canoniche, alcuni esempi ( e poi mi fecero risolvere un esercizio sulla base di quanto spiegatomi, per vedere se effettivamente io avessi compreso l'argomento ) ...Non so se avrai la pazienza, ma grazie lo stesso per la risposta.
A presto.
Alex.
Visto che
la tua matrice diventa
$A=((2, 2, -1),(2, 1, -1),(2, 4, -1))^T=((2, 2, 2),(2, 1, 4),(-1, -1, -1))$
usando la definizione che ti ho dato prima. Nota che le righe della prima matrice sono esattamente i coefficienti, presi nell'ordine, delle immagini di ogni singolo $f(v_i)$.
"bad.alex":
$f(v_1)=(1,-1,4,4)=2v_1+2v_2-v_3$
$f(v_2)=(0,-1,3,3)=2v_1+v_2-v_3$
$f(v_3)=(3,-1,6,36)=2v_1+4v_2-v_3$"
la tua matrice diventa
$A=((2, 2, -1),(2, 1, -1),(2, 4, -1))^T=((2, 2, 2),(2, 1, 4),(-1, -1, -1))$
usando la definizione che ti ho dato prima. Nota che le righe della prima matrice sono esattamente i coefficienti, presi nell'ordine, delle immagini di ogni singolo $f(v_i)$.
"ciampax":Tutto qua?
la tua matrice diventa
$A=((2, 2, -1),(2, 1, -1),(2, 4, -1))^T=((2, 2, 2),(2, 1, 4),(-1, -1, -1))$
credevo fosse più difficile la spiegazione ( utilizzando quella simbologia matematica, pensavo fossero richieste "maggiori risorse"
)...Ti ringrazio, ciampax.
A presto.
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