Geometria e Algebra Lineare
Discussioni su problemi, esercizi e teoremi che riguardano la geometria, l'algebra lineare e la topologia
Domande e risposte
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Ciao a tutti,
ho un esercizio da svolgere e mi sono fermato ad un punto in cui non so più continuare.
Vi posto l'esercizio e quello che ho fatto fino ad adesso
Considerata la matrice $((2,3,0,0),(-1,-2,0,0),(a,0,-1,-3),(0,b,2,4))$ dire par quali parametri a e b la matrice è diagonalizzabile.
Per prima cosa mi sono calcolato il polinomio caratteristico che è: $t^4-3t^3+t^2+3t-2=0$
che scomposto è: $(t-1)(t-2)(t^2-1)$ e quindi gli autovalori sono 1(con molteplicità due),2,-1.
Per confermare che la matrice sia ...
Ciao... Devo risolvere un esercizio... Potete aiutarmi?
Discutere al variare del parametro reale k, la diagonalizzabilità della seguente matrice:
A= $[(k,0,0),(1,2,1),(1,1,2)]$
e per k=1 determinare P e D.
Ciao a tutti, so già che si tratta di un esercizio molto stupido ma non riesco proprio a capire dove sbaglio.
Testo: Scrivere l'equazione della circonferenza di centro $(2 ; 4)$ e passante per l'origine.
Allora per trovarmi l'equazione conosco già la formula ma non l'ha posso scrivere qui perchè non ho idea di come fare l'apice e il pedice. Dalla formula mi manca solo sapere quant'è il raggio e lo trovo con la formula della distanza tra due punti. Ma risolvendo i calcoli mi vieni ...
Salve ragazzi,
ho dei dubbi sul seguente esercizio, al quale premetto delle considerazioni
di carattere più generale di cui mi interessa comunqua controllare
la validità
Premesse:
Sappiamo che, fissate $B,C$ basi di $\mathbb{R}^{n},\mathbb{R}^{m}$,
la funzione $g:L(\mathbb{R}^{n},\mathbb{R}^{m})\to M_{m,n}(\mathbb{R})$
tale che $\forall f\in L(\mathbb{R}^{n},\mathbb{R}^{m})$ associa
$g(f):=M_{B,C}(f)$ è un isomorfismo. Quindi ${ A_{1},...,A_{mn}} $
è una base di $M_{m,n}(\mathbb{R})\Leftrightarrow { g^{-1}(A_{1}),...,g^{-1}(A_{mn})} $
è una base di $L(\mathbb{R}^{n},\mathbb{R}^{m})$.
Esercizio:
Siano $V:=L{ (1,0,1),(0,-1,0)} \subset\mathbb{R}^{3}$
e ...
sono in $P^5$
Ho un piano $L$ e un punto $Q$ esterno ad esso. So che $J(L,Q)$, cioè lo spazio generato dal piano e dal punto è un $S_3$
Come posso giustificare che questo $S_3$, chiamiamolo $T$ è il luogo geometrico di tutte le rette passanti per $Q$ e per un punto di $L$?
Io pensavo di fare così:
$T=J(L,Q)$, ma $L$ è l'unione di tutti i sui punti, ...
Si consideri $RR^3$ con il prodotto scalare canonico, e sia $V={x in RR^3 : 3x_1-4x_3=0}$.
°Si indichi un $v_0 in V$ tale che la sua norma sia 20.
°Si indichi uno $z_0 in RR^3$ tale che la proiezione ortogonale di $z_0$ su $V$ sia $v_0$ ed abbia norma 25.
allora io mi sono trovato intanto una base di $V$, cioè $ ( ( 0 ),( 1 ),( 0 ) ),( ( 4 ),( 0 ),( 3 ) ) $
il testo mi dice di indicare un vettore generico $v_0$ con norma 20, quindi per ...
Qualcuno mi può dare un link o degli esercizi svolti sulla somma e l'intersezione dei sottospazi vettoriali ?? Grazieee! Così li capisco meglio
Nel piano cartesiano sono dati il punto $Q(1,2)$ e la retta r: $x-2y=0$. Provare che esistono due punti $P_1$ e $P_2$ su r tali che i triangoli di vertice $OQP_1$ e $OQP_2$ hanno area 3.
ho provato qualcosa ma non riesco a trovare la soluzione alla questio...
mi sono preso troppo a male
Mi è venuto un altro dubbio:
io fin'ora per trovare il luogo delle rette tangenti a una curva mettevo la curva in forma parametrica del tipo
${(x=x(t)),(y=y(t)),(z=z(t)):}$
e poi trovato il luogo di tutte le rette tangenti assume la forma
${(x=x(t)+x'(t)*u),(y=y(t)+y'(t)*u),(z=z(t)+z'(t)*u):}$
in particolare se voglio la tengente nel punto $P_0=(x(t_0), y(t_0), z(t_0))$ sostituisco $t=t_0$
Problema:
trovandomi a dover trovare le rette parellele di questa curva
${(x=t),(y^2=t^4-t^5):}$
io mi riconducevo a questo ...
Ragazzi scusatemi non riesco a capire una cosa che riguarda l'endomorfismo diagonalizzabile nella definizione ovvero:
Per un endomorfismo essere diagonalizzabile bisogna verificare che V abbia una base rispetto la quale la propria matrice associata è una matrice diagonale...da qui si perviene che condizione necessaria e sufficiente affinchè un endomorfismo sia diagonalizzabile è che la Base di V sia una base compasta da Autovettori generati da autovalori distinti. Ora quello che non capisco ...
Buondì ragazzi,
dovete assolutamente aiutarmi a chiarire dei dubbi che ho sulla verifica che uno spazio $W$ è sottospazio di $CC_3$ su $RR$ e che è sottospazio di $CC_3$ su $CC$ cioè non tanto sulla verifica in sè quanto sul passaggio da $CC$ a $RR$
Come variano la dimensione e le basi?
Tra i vari miei appunti ho trovato questo... $dim_CC CC^{3}=3$ mentre $dim_RR CC^{3}=6$... che vuol dire?!?! ...
Devo calcolare la tengente in $(1,0)$
della seguente curva scritta in forma parametrica
${(x=t),(y^2=t^4-t^5):}$
io mi calcolavo la derivata rispetto a $t$ e sostituisco $t=1$ per imporre il passaggio per $(1,0)$ ma mi viene uno zero al denominatore con relativa confusione....
dove sbaglio?
Si consideri $RR^3$ con il prodotto scalare canonico, e sia
$V={x in RR^3 : x_1+2x_2-2x_3=0}$
Sia $S$ l'insieme degli $a in RR^3$ la cui componente normale rispetto a $V$ abbia norma 9. Si dia una rappresentazione parametrica di $S$.
Io ho agito così:
mi sono trovato una base di $V$, per esempio $ ( ( 2 ),( 0 ),( 1 ) ),( ( -2 ),( 1 ),( 0 ) ) $
conosco che $a=v+h$ con v proiezione ortogonale ed h componente normale; $v in V$ e ...
EDIT:
Siano in [tex]\Re ^{4}[/tex] due piani affini, sghembi, E e F.
Mostrare che [tex]dim(dir(E) \cap dir(F) ) =1[/tex].
Dunque, io ho ragionato così: se E e F sono sghembi, non sono paralleli, quindi le loro direzioni sono diverse, quindi :
[tex]dir(E) \cap dir(F)[/tex] non può essere un piano (perchè sennò questi sarebbero coincidenti), dunque
[tex]dim(dir(E) \cap dir(F) )
Ciao ,
ho qualche dubbio sul seguente esercizio:
Sia $W:=((a,b,c,-a)|a,b,c\in\mathbb{R})\subset\mathbb{R}^{4}$. Sia
$f:\mathbb{R}^{3}\to\mathbb{R}^{4}$ tale che $f(x,y,x):=(x+y,x+z,y+z,x+y)$.
Calcolare $f^{-1}(W)$.
Svolgimento:
$v=(x,y,z)\in f^{-1}(W)\Leftrightarrow f(v)\in W\Leftrightarrow\exists a,b,c\in\mathbb{R}$
tali che $(x+y,x+z,y+z,x+y)=(a,b,c,-a)$.
A questo punto mi trovo $x,y,z$ parametrici, ossia dipendenti da
$a,b,c$.
Calcolando mi risulta (NB: non mi interessa la correttezza dei calcoli,
ma il ragionamento)
$x=\frac{a+b-c}{2}$, $y=\frac{c-b-a}{2}$, $z=\frac{b+c-a}{2}$.
Quindi ...
Salve ragà, vi posto un esercizio che non ho ben capito o meglio l'ho risolto ma voglio avere certezza su quello che capisco...
a) Per quali valori di $ k in R $ il seguente sistema lineare di 3 equazioni in 3 incognite ( vi do la matrice incompleta e quella completa )
A = $ ( ( K , K , -1 ),( 0 , -K-K^{2} , 2K ),( 0 , 0 , K-3 ) ) $ AB = $ ( ( K , K , -1 , 1 ),( 0 , -K-K^{2} , 2K , 2-K ),( 0 , 0 , K-3 , 6 ) ) $
ammette soluzione unica ?
b) Stabilire per quali valori di $K$ il sistema ammette infinite soluzioni e calcolarle.
Per stabilirmi il punto ...
Salve a tutti,
ho dei problemi con il seguente esercizio:
Sia $H \sub End(\mathbbR^3)$ tale che $H:={f\in End(\mathbbR^3) | f(e_1)=f(e_2)=f(e_3)}$ con
${e_1,e_2,e_3}$ base canonica di $\mathbb R^3$.
Determinare la dimensione di $H$.
Ecco, il fatto è che .... non so da dove cominciare!
In pratica, mi confonde molto il fatto che si tratta di un insieme di funzioni.
Cioè, normalmente quando ho uno spazio definito da delle equazioni (cartesiane), per calcolarmi la dimensione
mi trovo prima una ...
Nel piano cartesiano è dato un triangolo di vertici A, B, C di cui si conosce:
$A( 2 , 1 )$, l'equazione dell'asse del lato AB $x+y=0$ e l'equazione dell'asse del lato AC $2x-y=0$
Trovare le coordinate dei vertici B e C e l'equazione della circonferenza circoscritta nel triangolo.
ho cominciato svolgendo l'esercizio:
trovo la retta perpendicolare passante per A rispettivamente sia dell'asse del lato AC che dell'asse del lato AB
poichè adesso conosco, ...
Dati i punti p=(1,1) e Q=(0,2)
come faccio a trovare l'equazione della riflessione che porta P in Q ?
Non riesco a trovarla perchè mi sembra di avere poche condizioni per trovare i parametri del sistema
x' = ax +by +$c_1$
y' = bx -ay + $c_2$
...cosa mi sfugge?
Non so risolvere il seguente problema:
"Sia $T$ un'indeterminata su R. Si dimostri che esiste un unico sottospazio proprio $X$ di R[T]
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