Soluzioni di un sistema lineare di 3 equazioni
Salve ragà, vi posto un esercizio che non ho ben capito o meglio l'ho risolto ma voglio avere certezza su quello che capisco...
a) Per quali valori di $ k in R $ il seguente sistema lineare di 3 equazioni in 3 incognite ( vi do la matrice incompleta e quella completa )
A = $ ( ( K , K , -1 ),( 0 , -K-K^{2} , 2K ),( 0 , 0 , K-3 ) ) $ AB = $ ( ( K , K , -1 , 1 ),( 0 , -K-K^{2} , 2K , 2-K ),( 0 , 0 , K-3 , 6 ) ) $
ammette soluzione unica ?
b) Stabilire per quali valori di $K$ il sistema ammette infinite soluzioni e calcolarle.
Per stabilirmi il punto a), mi verifico che la matrice A abbia rango massimo, in quanto se ho il rango massimo ho che il sistema ammette soluzione unica, e dunque ottengo che avrò rango massimo ( rg = 3 ) per $ AA k in R - { 0, -1 , 3 } $
Per quanto riguarda il punto b), se non sbaglio avrò che se per $ AA k in R - { 0, -1 , 3 } $ avrò una soluzione unica, solo nel caso in cui $k=0,-1,3$ avrò che il sistema potrà ammettere infinite soluzioni, no?
E quindi, verifico d'apprima che sostituendo i valori di k ottenuti ottengo un sistema compatibile e poi mi trovo le soluzioni come $oo^{n-r}$ ( ovvero numero delle colonne - rango ), giusto?
Se fino a qui non sbaglio, se ottengo che per $k=0,-1,3$ il sistema è incompatibile, vuol dire che non ha infinite soluzioni ?
a) Per quali valori di $ k in R $ il seguente sistema lineare di 3 equazioni in 3 incognite ( vi do la matrice incompleta e quella completa )
A = $ ( ( K , K , -1 ),( 0 , -K-K^{2} , 2K ),( 0 , 0 , K-3 ) ) $ AB = $ ( ( K , K , -1 , 1 ),( 0 , -K-K^{2} , 2K , 2-K ),( 0 , 0 , K-3 , 6 ) ) $
ammette soluzione unica ?
b) Stabilire per quali valori di $K$ il sistema ammette infinite soluzioni e calcolarle.
Per stabilirmi il punto a), mi verifico che la matrice A abbia rango massimo, in quanto se ho il rango massimo ho che il sistema ammette soluzione unica, e dunque ottengo che avrò rango massimo ( rg = 3 ) per $ AA k in R - { 0, -1 , 3 } $
Per quanto riguarda il punto b), se non sbaglio avrò che se per $ AA k in R - { 0, -1 , 3 } $ avrò una soluzione unica, solo nel caso in cui $k=0,-1,3$ avrò che il sistema potrà ammettere infinite soluzioni, no?
E quindi, verifico d'apprima che sostituendo i valori di k ottenuti ottengo un sistema compatibile e poi mi trovo le soluzioni come $oo^{n-r}$ ( ovvero numero delle colonne - rango ), giusto?
Se fino a qui non sbaglio, se ottengo che per $k=0,-1,3$ il sistema è incompatibile, vuol dire che non ha infinite soluzioni ?
Risposte
Quello che hai scritto è corretto, solo che per $k=-1$ il sistema mi viene compatibile $(t+1/2, t,-3/2)$, quindi con $oo^1$ soluzioni
Per $k= -1$ ottengo
A = $ ( ( -1 , -1 , -1 ),( 0 , 0 , -2 ),( 0 , 0 , -4 ) ) $ AB = $ ( ( -1 , -1 , -1 , 1 ),( 0 , 0 , -2 , 3 ),( 0 , 0 , -4 , 6 ) ) $
vuol dire che hanno il rg uguale? ...ma AB non ha rg = 3, in quanto il vettore $( ( 1 ),( 3 ),( 6 ) )$ non lo posso scrivere come combinazione lineare degli altri?
A = $ ( ( -1 , -1 , -1 ),( 0 , 0 , -2 ),( 0 , 0 , -4 ) ) $ AB = $ ( ( -1 , -1 , -1 , 1 ),( 0 , 0 , -2 , 3 ),( 0 , 0 , -4 , 6 ) ) $
vuol dire che hanno il rg uguale? ...ma AB non ha rg = 3, in quanto il vettore $( ( 1 ),( 3 ),( 6 ) )$ non lo posso scrivere come combinazione lineare degli altri?
Hanno rango uguale sì, la terza riga è il doppio della seconda.
son proprio stanco...ormai il cervello mi è andato in pappa....lunedì ho l'orale....speriamo bene...Grazie mille...
Prego.
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