Prodotto scalare e componente normale
Si consideri $RR^3$ con il prodotto scalare canonico, e sia
$V={x in RR^3 : x_1+2x_2-2x_3=0}$
Sia $S$ l'insieme degli $a in RR^3$ la cui componente normale rispetto a $V$ abbia norma 9. Si dia una rappresentazione parametrica di $S$.
Io ho agito così:
mi sono trovato una base di $V$, per esempio $ ( ( 2 ),( 0 ),( 1 ) ),( ( -2 ),( 1 ),( 0 ) ) $
conosco che $a=v+h$ con v proiezione ortogonale ed h componente normale; $v in V$ e $h in V$ ortogonale;
mi sono trovato $V$ ortogonale che risulta essere $ ( ( -1/2 ),( -1 ),( 1 ) ) $ quindi $h$ è multiplo di questo vettore.
Conoscendo la sua norma ho fatto $ 9=|| ( -1/2*c ),( -c ),( c ) ||$ (sarebbe la norma) da cui mi sono ricavato $c=+- 6$.
A questo punto mi viene chiesto una componente normale di norma 9, quindi per esempio scelgo $c=-6$ da cui $h=( ( 3 ),( 6 ),( -6 ) ) $
Siccome $v in V$, esso sarà combinazione lineare degli elementi della base, quindi $v=( ( 2k-2j ),( j ),( k ) )$
Quindi $S={a in RR^3 : a=( ( 2k-2j ),( j ),( k ) )+( ( 3 ),( 6 ),( -6 ) )}$
è giusto il procedimento? accetto critiche
$V={x in RR^3 : x_1+2x_2-2x_3=0}$
Sia $S$ l'insieme degli $a in RR^3$ la cui componente normale rispetto a $V$ abbia norma 9. Si dia una rappresentazione parametrica di $S$.
Io ho agito così:
mi sono trovato una base di $V$, per esempio $ ( ( 2 ),( 0 ),( 1 ) ),( ( -2 ),( 1 ),( 0 ) ) $
conosco che $a=v+h$ con v proiezione ortogonale ed h componente normale; $v in V$ e $h in V$ ortogonale;
mi sono trovato $V$ ortogonale che risulta essere $ ( ( -1/2 ),( -1 ),( 1 ) ) $ quindi $h$ è multiplo di questo vettore.
Conoscendo la sua norma ho fatto $ 9=|| ( -1/2*c ),( -c ),( c ) ||$ (sarebbe la norma) da cui mi sono ricavato $c=+- 6$.
A questo punto mi viene chiesto una componente normale di norma 9, quindi per esempio scelgo $c=-6$ da cui $h=( ( 3 ),( 6 ),( -6 ) ) $
Siccome $v in V$, esso sarà combinazione lineare degli elementi della base, quindi $v=( ( 2k-2j ),( j ),( k ) )$
Quindi $S={a in RR^3 : a=( ( 2k-2j ),( j ),( k ) )+( ( 3 ),( 6 ),( -6 ) )}$
è giusto il procedimento? accetto critiche
Risposte
Non ho controllato i conti. A occhio sembrano giusti.
Il ragionamento è fatto più che bene.
Solo una questione: hai scelto $c=-6$ e hai trascurato l'altra possibilità $c=6$, da cui si ottengono altri elementi di $S$ che, quindi, non sono considerati nella tua rappresentazione parametrica di $S$.
Il risultato dovrebbe essere
$S={\ a=( ( 2k-2j ),( j ),( k ) )\pm( ( 3 ),( 6 ),( -6 ) ):\ k,j\in RR\ }$
cioè quello che hai ottenuto tu + i vettori che hai trascurato.
Il ragionamento è fatto più che bene.
Solo una questione: hai scelto $c=-6$ e hai trascurato l'altra possibilità $c=6$, da cui si ottengono altri elementi di $S$ che, quindi, non sono considerati nella tua rappresentazione parametrica di $S$.
Il risultato dovrebbe essere
$S={\ a=( ( 2k-2j ),( j ),( k ) )\pm( ( 3 ),( 6 ),( -6 ) ):\ k,j\in RR\ }$
cioè quello che hai ottenuto tu + i vettori che hai trascurato.
ok ho capito cosa mi vuoi dire, non ci avevo pensato, grazie mille per la risposta 
Prego!
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