Dubbi su un esercizio di calcolo controimmagine

[dark121it]

Ciao ,

ho qualche dubbio sul seguente esercizio:

Sia $W:=((a,b,c,-a)|a,b,c\in\mathbb{R})\subset\mathbb{R}^{4}$. Sia
$f:\mathbb{R}^{3}\to\mathbb{R}^{4}$ tale che $f(x,y,x):=(x+y,x+z,y+z,x+y)$.

Calcolare $f^{-1}(W)$.

Svolgimento:

$v=(x,y,z)\in f^{-1}(W)\Leftrightarrow f(v)\in W\Leftrightarrow\exists a,b,c\in\mathbb{R}$
tali che $(x+y,x+z,y+z,x+y)=(a,b,c,-a)$.

A questo punto mi trovo $x,y,z$ parametrici, ossia dipendenti da
$a,b,c$.

Calcolando mi risulta (NB: non mi interessa la correttezza dei calcoli,
ma il ragionamento)

$x=\frac{a+b-c}{2}$, $y=\frac{c-b-a}{2}$, $z=\frac{b+c-a}{2}$.

Quindi $v=(x,y,z)=(\frac{a+b-c}{2},\frac{c-b-a}{2},\frac{b+c-a}{2})=\frac{1}{2}(a(1,-1,-1)+b(1,-1,1)+c(-1,1,1))$

perciò $f^{-1}(W)=L{(1,-1,-1),(1,-1,1)}=L{(1,-1,0),(0,0,1)}$.

Secondo voi è corretto?

C'era un metodo più veloce, o comunque più pratico?

Grazie a tutti.

[cirasa]

E' tutto corretto, ma avresti potuto semplificare un po' i calcoli nella risoluzione del sistema eliminando la dipendenza da $a$.
Non credo che ci siano metodi più veloci.

[dark121it]

Ti ringrazio molto!

[cirasa]

Prego!