Diagonalizzabilità
Ciao... Devo risolvere un esercizio... Potete aiutarmi?
Discutere al variare del parametro reale k, la diagonalizzabilità della seguente matrice:
A= $[(k,0,0),(1,2,1),(1,1,2)]$
e per k=1 determinare P e D.
Discutere al variare del parametro reale k, la diagonalizzabilità della seguente matrice:
A= $[(k,0,0),(1,2,1),(1,1,2)]$
e per k=1 determinare P e D.
Risposte
Scusate se ho sbagliato sezione... Era il primo post su questo forum... Se potete spostarlo...
Io inizierei con lo scrivere il polinomio caratteristico. Sai farlo?
Ti consiglio, visto che è il primo post (a proposito, benvenuto\a) di leggere il regolamento con attenzione.
Ciao e buona permanenza
Ti consiglio, visto che è il primo post (a proposito, benvenuto\a) di leggere il regolamento con attenzione.
Ciao e buona permanenza
Si... So farlo...
$(k-t)[(2-t)^2-1]$
Quindi gli autovalori sono:
$t_1=k$$t_2=1$$t_3=3$
$(k-t)[(2-t)^2-1]$
Quindi gli autovalori sono:
$t_1=k$$t_2=1$$t_3=3$
mmm, non ho controllato i calcoli, ma c'è sicuramente qualcosa da sistemare.
Anzitutto è un polinomio, quindi $(k-t)[(2-t)^2-1]=0$, poi questo polinomio non è ancora scomposto, va sviluppato il quadrato ed otteniamo $(k-t)(t^2-4t+3)=0$, cerchiamo radici reali per il polinomio di secondo grado ed otteniamo $(t-3)(t-1)(k-t)=0$, ora puoi discutere le relative molteplicità...
Anzitutto è un polinomio, quindi $(k-t)[(2-t)^2-1]=0$, poi questo polinomio non è ancora scomposto, va sviluppato il quadrato ed otteniamo $(k-t)(t^2-4t+3)=0$, cerchiamo radici reali per il polinomio di secondo grado ed otteniamo $(t-3)(t-1)(k-t)=0$, ora puoi discutere le relative molteplicità...
Poi devo discutere k che assume il valore degli autovalori?
Beh un caso è immediato, se $k$ è diverso da $1,3$ allora sicuramente $A$ è ... ?
E poi discuti gli altri
E poi discuti gli altri
Ok... E' diagonalizzabile per $k$ diverso da $1,3$ perchè si hanno 3 autovalori diversi...
Un'altra cosa: Per ciascun caso $k=1$ e $k=3$ come uso l'autovalore $t$?
Un'altra cosa: Per ciascun caso $k=1$ e $k=3$ come uso l'autovalore $t$?
E poi come si trovano P e D? D dovrebbe essere la matrice con gli autovalori sulla diagonale... Ma P?
l'autovalore $t$?
Quella è l'indeterminata del polinomio, non è autovalore. Gli autovalori sono le radici del polinomio carattestico, detto volgarmente sono quei numeri che sostituiti a $t$, danno l'ugualianza $0=0$.
Nel caso in cui una radice abbia molteplicità algebrica maggiore stretto di $1$, devi verificare che la relativa molteplicità geometrica (che ti ricordo essere sempre minore uguale di quella algebrica) sia uguale. Quindi potresti calcolare l'autospazio relativo all'autovalore con molteplicità algebrica $2$ e calcorti la relativa base (compsota da autovettori).
La matrice $D$ è quella che hai indicato, mentra la matrice $P$ che realizza la similitudine è la matrice degli autovettori!
Quella è l'indeterminata del polinomio, non è autovalore. Gli autovalori sono le radici del polinomio carattestico, detto volgarmente sono quei numeri che sostituiti a $t$, danno l'ugualianza $0=0$.
Nel caso in cui una radice abbia molteplicità algebrica maggiore stretto di $1$, devi verificare che la relativa molteplicità geometrica (che ti ricordo essere sempre minore uguale di quella algebrica) sia uguale. Quindi potresti calcolare l'autospazio relativo all'autovalore con molteplicità algebrica $2$ e calcorti la relativa base (compsota da autovettori).
La matrice $D$ è quella che hai indicato, mentra la matrice $P$ che realizza la similitudine è la matrice degli autovettori!
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