Endomorfismo diagonalizzabile

[sal1989]

Ragazzi scusatemi non riesco a capire una cosa che riguarda l'endomorfismo diagonalizzabile nella definizione ovvero:
Per un endomorfismo essere diagonalizzabile bisogna verificare che V abbia una base rispetto la quale la propria matrice associata è una matrice diagonale...da qui si perviene che condizione necessaria e sufficiente affinchè un endomorfismo sia diagonalizzabile è che la Base di V sia una base compasta da Autovettori generati da autovalori distinti. Ora quello che non capisco è: perchè se V ha una base costituita da autovettori è certamente diagonalizzabile?C'è una dimostrazione di questo teorema?....potreste aiutarmi anche questa volta?

Grazie mille in anticipo

[Relegal]

Prova a scrivere la matrice rappresentativa dell'endomorfismo rispetto alla base formata dagli autovettori.

[sal1989]

non è un esercizio è un fondamento di teoria che non capisco.... :-S

[dissonance]

questa è una cosa che, purtroppo, bisonga ricordarsi perché capita sempre: data una mappa lineare $F:V\toW$, e date basi $e_1...e_n$ di $V$ e $f_1...f_m$ di $W$, la matrice associata ad $F$ relativamente alle due basi ($e$ in partenza, $f$ in arrivo) è quella avente sulle colonne le componenti dei vettori $F(e_j)$ relativamente alla base $f$. In simboli, se la matrice è $m_{i, j}$, allora

$F(e_j)=sum_{i=1}^m m_{i, j}f_i$.

Ora prendi $F$ un endomorfismo diagonalizzabile, $e=e_1...e_n$ una base di autovettori, e calcola la matrice associata ad $F$ rispetto alla base $e$ in partenza ed in arrivo. Vedi un po' che cosa salta fuori